Метод сравнительного индекса при математическом моделировании колебаний дискретных линейных симплектических систем

• Автор: Елисеева, Юлия Витальевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 400 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Дискретные симплектические модели и основные понятия дискретной осцилляционной теории

1.1. О симплектической структуре фазового потока в классической

и дискретной гамильтоновой механике

1.2. Дискретные симплектические системы как математические модели колебаний

1.3. Основные этапы развития дискретной осцилляционной теории

и её приложения в математическом моделировании

1.4. Основные результаты, полученные в первой главе

Глава 2. Сравнительный индекс и его свойства

2.1. Предварительные результаты

2.2. Сравнительный индекс и его основные свойства
2.3. Сравнительный индекс и симметрические операторы
2.4. Сравнительный индекс для симплектических матриц
2.5. Дополнительные свойства сравнительного индекса для пары симплектических матриц
2.6. Доказательства свойств сравнительного индекса для симплектических матриц
2.7. Основные результаты, полученные во второй главе
Глава 3. Исследование осцилляционных свойств сопряженных базисов дискретных симплектических систем
3.1. Сравнительный индекс и число фокальных точек

3.2. Теоремы отделимости для симплектической системы разностных уравнений
3.3. Теоремы сравнения для симплектической системы разностных уравнений
3.4. Экстремальные свойства сравнительного индекса и уравнение Риккати
3.5. Приложения к теории трансформаций
3.6. Основные результаты главы
Глава 4. Метод сравнительного индекса в спектральной теории
симплектических краевых задач
4.1. Постановки краевых задач
4.2. Число собственных значений краевых задач на произвольном полуинтервале
4.3. Относительная осцилляционная теория для краевых задач с различными граничными условиями
4.4. Неравенства для собственных значений задач с различными граничными условиями
4.5. Относительная осцилляционная теория для краевых задач с различными матрицами коэффициентов и граничными условиями
4.6. Основные результаты главы
Глава 5. Алгоритмы решения дискретных симплектических
краевых задач
5.1. Симплектические блочные LU разложения с выбором ведущего элемента
5.2. Варианты прогонки при численном интегрировании симплек-тических систем
5.3. Вычисление фокальных точек с использованием блочной диа-гонализации симметрических матриц
5.4. Теория трансформаций и алгоритмы расчета фокальных точек
5.5. Примеры вычисления фокальных точек и спектров дискретных краевых задач
5.6. Основные результаты главы
Заключение
Литература
Приложение А. Комплекс программ для расчета собственных
значений дискретных краевых задач
А.1. Основные характеристики комплекса
А.2. Тексты программ

даментальную роль1 в исследовании нетривиальной разрешимости краевых задач для линейных дискретных и непрерывных систем (1.2.32) и (1.2.38) играют осцилляционные (колебательные) свойства их решений. Поэтому основным предметом исследования в данной работе являются осцилляционные свойства решений дискретных симплектических систем (1.2.1), а основные теоретические результаты работы относятся к дискретной осцилляционной теории для данных систем.
В следующем разделе дается краткий обзор результатов и основных этапов развития непрерывной и дискретной осцилляционной теории и ее роли в математическом моделировании, в частности, при исследовании разрешимости линейных краевых задач.
1.3. Основные этапы развития дискретной
осцилляционной теории и её приложения в математическом моделировании
1.3.1. Теория второй вариации в классическом вариационном исчислении
Исторически первой областью приложений дискретной осцилляционной теории для решений симплектических систем (1.2.1) является теория второй вариации в дискретном вариационном исчислении. Отметим, что аналогичную роль играет осцилляционная теория для решений линейных гамильтоновых систем (1.1.5). Напомним кратко основные связи классического вариационного исчисления и осцилляционной теории для (1.1.5). Изложение опирается на результаты, доказанные в [37], [120].
1 фундаментальное значение осцилляционной теории в теории линейных краевых задач отмечено в статье Кигурадзе И. Т. Осцилляционное дифференциальное уравнение // Математическая энциклопедия, Под ред. И. М. Виноградова. Москва: Советская энциклопедия, 1984. Т. 4.