Приближение решений задач тензорной томографии рядами по локальным и ортогональным базисам

• Автор: Полякова, Анна Петровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 148 с. : ил.

Оглавление

Введение
Глава 1. Получение образов двумерных В—сплайнов под действием преобразования Радона

1.1. Определения и постановка задачи

1.2. Формула для вычисления образов двумерных 5-сплайнов под действием преобразования Радона

1.2.1. Преобразование Радона от 5-сплайна 0-ой степени

1.2.2. Преобразование Радона от 5-сплайна Пой степени

1.2.3. Общая формула для вычисления преобразования Радона от двумерных 5-сплайнов степеней
1.2.4. Формулы для вычисления лучевых преобразований от векторных и симметричных 2-тензорных полей, построенных на основе двумерных 5-сплайнов
1.3. Применение полученных формул при решении задач скалярной.
векторной и 2-тензорной томографии
1.3.1. Общая схема МНК
1.3.2. Решение задачи скалярной томографии
1.3.3. Решение задачи векторной томографии
1.3.4. Решение задачи 2-тензорной томографии
1.3.5. Численные эксперименты
1.4. Выводы
Глава 2. Восстановление симметричных 2-тензорных полей по их лучевым преобразованиям с использованием метода сингулярного разложения

2.1. Построение сингулярного разложения операторов лучевых преобразований симметричных 2-тензорных полей
2.1.1. Общая схема метода сингулярного разложения
2.1.2. Ортогональные базисы потенциальных и соленоидальных симметричных 2-тензорных полей
2.1.3. Ортогональный базис в пространстве образов лучевых преобразований
2.2. Алгоритм численного решения задачи 2-тензорной томографии
с использованием метода сингулярного разложения
2.2.1. Усеченное сингулярное разложение
2.2.2. Особенности численной реализации алгоритма
2.2.3. Численные эксперименты
2.3. Выводы
Глава 3. Восстановление потенциальной части трехмерного векторного
поля по его известному нормальному преобразованию Радона
3.1. Определения и постановка задачи
3.2. Сингулярное разложение оператора нормального преобразования Радона
3.3. Алгоритм численного решения задачи векторной томографии с использованием метода сингулярного разложения
3.3.1. Усеченное сингулярное разложение
3.3.2. Особенности численной реализации алгоритма
3.3.3. Численные эксперименты
3.4. Выводы
Заключение
Литература

Приложение А. Получение формул для преобразования Радона от
5-сплайна 2-ой степени.
Приложение В. Получение формул для преобразования Радона от
5-сплайна 3-ей степени.
Приложение С. Получение формул для преобразования Радона от
5-сплайна 4-ой степени.
Приложение Р. Специальные функции.

Продольное лучевое преобразование соленоидального симметричного 2-тензорного поля
Ы-Ц’в = 92в,л
1 1 " Уду* ' ) ’
поперечное лучевое преобразование потенциального симметричного 2-тензорного поля первого типа
б 2 В.
= (сРВп &Вп &Вп
дх2 ’ дхду ’ ду2 ’ ’ и смешанное лучевое преобразование потенциального симметричного 2-тензорного поля второго типа
I д2вп 1 (д2вп д2вп д2вп
/ д2вп і /д2вп д2вл д2вп
дхду ’ 2 дх2 ду2 ) ’ дхду)
могут быть вычислены с использованием формулы (1.20) и соотношения (1.16):
V ((с1х)25п) = V1 (б2Вп) = 2(<1хсШп) = ~ (ПВп).
1.3. Применение полученных формул при решении задач скалярной, векторной и 2-тензорной томографии.
В данном параграфе приведен алгоритм численного решения задач восстановления скалярных, векторных и симметричных 2-тензорных полей по известному преобразованию Радона (скалярное поле) и лучевым преобразованиям (векторное и симметричное 2-тензорное поле). Алгоритм основан на методе наименьших квадратов с использованием базисных элементов, построенных на основе двумерных £?-сплайнов. Данный алгоритм был предложен и численно исследован в работе [8] (скалярный случай), в которой для вычисления образов базисных элементов использовался аппарат численного интегрирования. В данном параграфе для этих вычислений предлагается использовать полученные аналитические выражения. Проведены