Математическое моделирование взаимодействующих популяций при антропогенном воздействии

• Автор: Горбунова, Екатерина Андреевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 169 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Точечные модели
§ 1.1 Одиночные популяции
§ 1.2 Двухкамерная модель динамики численности одиночной популяции 21 § 1.3 Одиночная популяция на линейном ареале
§ 1.4 Одиночная популяция на кольцевом ареале
§ 1.5 Взаимодействие популяций по принципу хищник-жертва
§ 1.6 Двухкамерная модель хищник-жертва
§ 1.7 Хищник и жертва на кольцевом и линейном ареалах
Глава 2. Модели типа диффузия-реакция
§ 2.1 Одиночная популяция
§ 2.2 Численные методы решения
§ 2.3 Популяция на конечном отрезке. Численные эксперименты
§ 2.4 Популяционные волны
§ 2.5 Численные эксперименты
§ 2.6 Анализ экспериментальных данных
§ 2.7 Взаимодействие популяций по принципу хищник-жертва
§ 2.8 Хищник - жертва. Волна погони
§ 2.9 Трофотаксис
Глава 3. Моделирование антропогенного воздействия
§ 3.1 Популяция под действием антропогенного и токсичного воздействий 125 § 3.2 Влияние токсинов
§ 3.3 Антропогенное воздействие
§ 3.4 Хищник-жертва
Заключение
Литература
Приложение

Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.
Во введение формулируются основные проблемы, решаемые в диссертации. Объясняется необходимость учитывать в моделях различные стратегии адаптации популяций при антропогенном воздействии, гетерогенность среды обитания с учетом современных экспериментальных данных.
В первой главе приведены задачи для одиночной популяции и популяций, взаимодействующий по принципу хищник-жертва с различными трофичечкими функциями: Ферхюльст, логистика, Свирижев и Олли для многокамерных ареалов. Анализируются стационарные состояния.
Модели типа диффузия-реакция рассматриваются во второй главе. Для непрерывного ареала строятся решения «популяционной волны» с учетом нелинейной диффузии. Предлагается алгоритм численного решения начальнокраевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Система хищник-жертва анализируется для различных трофических функций у жертвы с учетом трофотаксиса. Теоретические результаты сопоставляются с численными и натурными экспериментами (по литературным источникам).
В третьей главе разрабатывается и анализируется математическая модель взаимодействующих популяций под действием антропогенного воздействия.
В заключении делаются выводы.
Практическая значимость и внедрение результатов диссертации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [40, 41, 42, 43, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 163]. Основные положения научной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
1. Научная конференция «Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТЬАВ», Санкт-Петербург, 2007; Астрахань, 2009.
2. Международная конференция «Процессы управления и устойчивость», Санкт-Петербург, 2008, 2009, 2013.
3. Международная междисциплинарная научная конференция «Синергетика

в естественных науках: Курдюмовские чтения», Тверь, 2009, 2010.
4. Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, 2009, 2013; Дубна, 2010.
5. Международная научно-практическая конференция «Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика», Архангельск, 2010.
6. II молодежный экологический конгресс «Северная Пальмира», Санкт-Петербург, 2010.
7. II международная научная конференция «The modeling of nonlinear processes and systems», Москва, 2011.
8. V Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования», Воронеж, 2012.
Итогом работы стали разработанные математические модели, которые могут быть использованы для прогноза состояния экологических систем, для оценки рисков и последствий антропогенного воздействия на различные ареалы.
Разработанный алгоритм численного решения эволюционных уравнений для взаимодействующих популяций и разработанные программы для компьютерного моделирования задач популяционной биологии, могут быть использованы в учебном процессе на факультете ПМ-ПУ СПбГУ.
Цели работы. Актуальность. Новизна
Изучение последствий антропогенного загрязнения природной среды и связанного с ним техногенного накопления тяжелых металлов в настоящее время приобрело исключительно важное значение. Существует обширная литература, посвященная исследованию задач популяционной биологии. Однако в предлагаемых математических моделях практически не учитывается антропогенное воздействие на популяции, а если и учитываются, то на локальном промежутке времени. При этом в целом не учитываются стратегии выживания популяций, уменьшение емкости среды и влияние антропогенного давления на отдельные особи.
Основная цель и результат данной работы - разработка математических

1 , 4
равно -—(1 + /?) -(1-/0) =-—(1-/? + /? ) = ~Ут- Поэтому при выполнении
неравенства ут/2<у уравнение Р(и|) = 0 при м,е(0,1) вещественных корней иметь не будет.
При у- 0 Р(у = 0) = (м, -/0)2(1 -их)2и^ > 0. Производная полинома Р(у) в точке у =

= 2(-Зм1 +1 + /?)«,(», -/?)(1 -и,)

будет отрицательной при значениях м, близких к единице или близких к нулю. Следовательно, полином Р(у) при малых значениях у будет принимать малые положительные значения и будет убывающей функцией, а при тех значениях их, при которых выполняется равенство
(и,-Р){-их)их -(3г/, -1 -Р)у — 0, будет отрицательным. Последнее равенство при [3 е (0,1) может выполняться при значениях и, близких к нулю или единице.
Таким образом, при малых значениях у-VI /и полином Р(ил) имеет положительные корни в малой окрестности точки и, = 0, а в малой окрестности точки м, = 1 корни меньшие единицы.
Теорема 1.6. В трехкамерной модели Олли существует значение у0 такое, что при у: 0<у<у0 наряду с гомогенным решением существует гетерогенное решение.
На рис. 1.6 представлена зависимость максимального значения параметра у / у, при котором полином Р имеет корень меньший единицы, а соответствующие этому параметру значения корня полинома в зависимости от /3, приведены на рис.
1.7. Поиск корней полинома Р осуществлялся с применением численных методов, при этом делалась проверка на перемену знака полинома в окрестности найденного корня.