Математическое моделирование истечения газа в вакуум в условиях действия массовых сил

• Автор: Мезенцев, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 128 с. : ил. + Прил. ( 119 с. : ил. )

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. Начально-краевые задачи, описывающие течения газа, примыкающие к вакууму в условиях действия массовых сил и самогравитации

§ 1. Одномерное истечение в вакуум нормального газа в условиях самогравитации.

§ 2. Задача о распаде специального разрыва для трехмерных течений политроп-ного газа.
§ 3. Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму для трехмерных течений политропного газа.
Глава II. Аналитическое моделирование течений газа, примыкающих к вакууму в условиях действия сил тяготения и Кориолиса

§ 4. Моделирование разрывных трехмерных течений политропного газа.

§ 5. Эволюция трехмерных течений политропного газа, непрерывно примыкающих к вакууму.
Глава III. Численное моделирование движения свободной границы газ-вакуум в условиях действия сил тяготения и Кориолиса
§ 6. Исследование движения свободной границы газ-вакуум с помощью характеристических кривых в декартовой системе координат.
§ 7. Приближенные решения, описывающие конический случай движения свободной границы восходящего закрученного потока.
§ 8. Определение моментов времени возникновения бесконечных значений производных на свободной границе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация 1 посвящена построению решений начально-краевых задач со свободной границей, описывающих истечение идеального газа в вакуум. Исследуются одномерные и многомерные течения, возникающие при истечении в вакуум нормального и политропного газа. В частности, рассматривается эволюция примыкающих к вакууму течений газа, которые испытывают воздействие массовых сил или гравитируют по Ньютону. Также рассмотрены многомерные течения политропного газа, примыкающие к вакууму в условиях действия сил тяготения и Кориолиса.
Значительная часть физических процессов и явлений, происходящих в сплошных средах, описывается с помощью систем дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения - это сложный математический объект исследования, особенно если они нелинейные или имеют особенности.
Исследование нелинейных задач с помощью аналитических методов имеет принципиальные трудности, в основе которых лежат особенности решений нелинейных задач. Эти затруднения связаны во многих случаях с отсутствием строго доказанных фактов о существовании и единственности решений и знаний об их свойствах. Очень осложняет положение большой объем выкладок и построений, необходимых для практического применения аналитических подходов. К тому же, не очень велик и сам набор эффективных аналитических методов исследования нелинейных задач: метод дифференциальных связей [82]; групповой анализ нелинейных уравнений с частными производными [74]; представление решений в виде рядов [8], [79]; различные асимптотические разложения и некоторые другие аналитические подходы.
В настоящей диссертации исследуется система уравнений газовой динамики, являющаяся нелинейной системой уравнений с частными производными гиперболического типа. В работе исследуются газовые течения либо без ударных волн, либо до момента их возникновения, поэтому основным элементом при построении сложных конфигураций течений служат характеристические поверхности -поверхности слабых разрывов. У системы уравнений газовой динамики имеются: в случае ненулевой плотности две звуковые характеристики, каждая кратности один, а также контактные характеристики, которые в случае нулевой плотности в зависимости от размерности задачи имеют кратность от трех до пяти. При учете более сложных физических эффектов система уравнений газовой динамики, усложняется. В частности, при учете сил гравитации по Ньютону приходится рассматривать интегро-дифференциальную систему, у которой подынтегральная функция имеет известную особенность.
'Исследование поддержано РФФИ, проекты 08-01-00052, 11-01-00198.

Среди всех краевых задач для нелинейных систем уравнений с частными производными особое место занимают задачи со свободными границами. На таких границах заданы значения некоторых искомых функций (как правило, давление), но положение самих границ и законы их движения заранее не известны, и они -искомые элементы в соответствующих начально-краевых задачах. К таким задачам со свободными границами и относятся задачи об истечении газа в вакуум, рассматриваемые в настоящей диссертации.
В данной диссертации исследование истечения идеального газа в вакуум проводится с помощью построения решений нелинейных начально-краевых задач, описания их качественных и количественных характеристик.
Сформулируем две основные задачи, исследуемые в диссертации:
1. Задача о распаде специального разрыва, при котором возникает истечение газа в вакуум;
2. Задача со свободной границей на которой газ непрерывно примыкает к вакууму. Далее для краткости ее будем называть - задача о непрерывном примыкании газа к вакууму.
Постановки этих задач следующие.
Задача о распаде специального разрыва. Пусть в момент времени і = ф поверхность Г, проходящая через точку х°={ж5, х, Ж3}, отделяет находящийся по одну сторону от Г идеальный газ от вакуума (рис. 01). В этот момент времени і = ф известны распределения параметров газа: р — до(х) ~ плотность газа; V = ^о(х) - вектор скорости газа; 5 = З'о(х) - энтропия. Предполагается, что плотность газа ро(х) ВСЮДУ больше нуля, в том числе ро(х)|г > 0.
В момент времени t = tо начинается движение газа, определяемое заданными при ;£ = £о распределениями ро> ^о, 5о, которое в дальнейшем называется фоновым течением. В частности, фоновое течение может быть однородным покоем. В тот же начальный момент времени t = tо помимо начала движения фонового течения поверхность Г мгновенно разрушается и начинается истечение части газа в вакуум. Возмущения, возникшие в результате мгновенного разрушения поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Г1, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны волна разрежения примыкает к вакууму: р(4,х)|г0 = 0, где Го -

Рис. 01.

ния, получим значения параметров газа на ней
^ІГі = <г1(і,х,У,г)г=2і(і,х,у) VI* ^ (Д Хі У і ■г) г=гі(у,х,у)і
®|Гі ® (^і -У і У і %)г=гі(і,х,у)-
(2.3)
В дальнейшем будут предполагаться известными: фоновое течение, поверхность Г1, значения а1, V1, в1, заданные с помощью аналитических функций.
Для построения волны разрежения как и в [15], [41], [42], [59] поменяем ролями одну из независимых переменных г и одну из неизвестных функций а, то есть за независимые переменные возьмем £, а, х, у, а за неизвестные функции г, V, я. Якобиан такого преобразования J — га. В результате этой замены вместо (2.1) получим систему:
2* = - гхи - гуу + [(их + уу)га + w<т - гхи„ - гууа],
[щ + ихи + иуу + [лу - гхи - гуу - гьиа - - 28яа(т2гх + 2зяхот2га =
= га/^,х,у,г,и,у,^,з,а),
[ьг + ьхи + ууу] + [лу - гхи - гуу - гь]ьа - ф^я2агу - ^язаа2гу + 288уа2га =
= гад(Ь,х,у,г,и,у,ж,8,а),
гс ^ + wхи + wуу] + [чг - гхи - гуу - + ~^в2а + ^з^сг2 =
= гаН(г,х,у,г,и,у^,8,а),
?а [«* + 8хи + вуу] + [лг - гхи - гуу - г*]^ — 0.
Течение в области между Гі и Го (в области волны разрежения) будем строить как решение системы (2.4) с данными (2.3) на характеристике ІД. Поскольку Гі - характеристика кратности один, то для получения единственного локальноаналитического решения необходимо задать одно дополнительное условие [41]. Если бы поверхность Г убиралась медленно, то таким условием было бы условие непротекания на стенке. Если же поверхность Г убирается мгновенно, этим условием в пространстве переменных (і, сг, ж,г/) служит [15], [37], [41], [42], [48], [51], [55], [59], [60] соотношение
Это условие получается следующим образом: если функцию г, получившуюся при решении задачи о распада разрыва, рассмотреть при изменении времени от £ > 0 к £ = 0, то при £ —У -|-0 поверхность г — г(ф, а, ж, у) вне зависимости от а перейдет в начальную поверхность Г : 2 = ф(х,у). Таким образом, для описания волны разрежения между Г1 и Го имеем начально-краевую задачу (2.3)—(2.5), которая в дальнейшем будет называться задачей о распаде специального разрыва.
(2.4)
ДО ,а,х,у) = ф(х,у).
(2.5)