Исследование структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования

• Автор: Соболева, Дарья Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Методы исследования структуры минимального глобального аттрактора многомерных регулируемых систем

1.1 Математические модели систем автоматического регулирования

1.2 Обзор методов доказательства существования циклов многомерных автономных систем

1.3 Вычислительный алгоритм нахождения решений матричных неравенств

1.4 Программная реализация алгоритма нахождения решений матричных неравенств

1.5 Вспомогательные утверждения и теоремы

2 Исследование структуры глобального аттрактора многосвпзных систем автоматического регулирования. Генерирование систем с заданным числом циклов

2.1 Основные предположения

2.2 Системы с неединственным циклом. Методы оценки числа циклов и областей притяжения устойчивых циклов
3 Исследование структуры глобального аттрактора многомерных систем, при исследовании которых не удастся применить обобщенный принцип Пуанкаре-Бендиксона
3.1 Постановка задачи. Основная теорема
3.2 Система автоматического регулирования с одним нелинейным блоком
4 Задача С. Смейла
4.1 Постановка задачи
4.2 Сведение к задаче о существовании и оценке числа циклов многосвязных
регулируемых систем
Заключение
Литература
Введение
Развитие современных компьютерных технологий и, в том числе, универсальных систем компьютерной математики, способствует формированию современной тенденции синтеза аналитических и численных методов при решении сложных математических проблем. Одной из таких проблем является проблема изучения структуры глобального аттрактора многомерных динамических систем и, в частности, многомерных моделей систем автоматического регулирования.
Исторически эта задача восходит к известной шестнадцатой проблеме Гильберта о нахождении максимального числа и взаимного расположения предельных циклов систем второго порядка с полиномиальными правыми частями. Благодаря усилиям нескольких поколений математиков во второй половине XX века в решении этой проблемы был достигнут существенный прогресс [8, 9, 23, 32, 70, 74, 78, 116, 119-121, 126, 127, 136-140, 143, 146, 158, 166, 179, 180]. Методам оценки числа циклов систем фазовой автоподстройки частоты посвящены работы С.С. Мамонова [60-63]. Новые аспекты этой проблемы наиболее рельефно проявились после работ С.Смейла [79], показавшего, что глобальный аттрактор динамической системы порядка выше второго, имеющей даже весьма простую структуру (например, кусочно-линейной), может содержать бесконечное число неустойчивых циклов или странный аттрактор. Автономные системы, обладающие несколькими циклами, были обнаружены, например, М.В. Келдышем при изучении флаттера крыла самолета [34], однако при этом использован метод гармонической линеаризации, не являющийся строгим и не исключающий, как хорошо известно [91], возможность ошибки. Для систем автоматического регулирования задачу, близкую к оценке числа циклов, поставил в свое время академик
A.A. Воронов [22].
С вычислительной точки зрения аттракторы в нелинейных динамических системах можно разделить па возбуждающиеся из состояния равновесия и скрытые аттракторы, область притяжения которых не содержит окрестностей состояний равновесия [45]. Аттракторы, возбуждающиеся из состояния равновесия, мо-

гут быть обнаружены путем численного интегрирования системы при выборе начальных условий из малой окрестности неустойчивого состояния равновесия. Такая ситуация характерна, например, для известных систем Ван дер Поля [172-174], Белоусова-Жаботинского [30, 35, 38], Лоренца [65, 147], Чуа [129, 130]. Так как область притяжения скрытого аттрактора не содержит окрестностей состояний равновесия, для его обнаружения необходимы специальные методы оценки таких областей.
Ситуация, когда система имеет как возбуждающиеся из состояния равновесия, так и скрытые аттракторы, является, в определенном смысле, промежуточной между порядком и хаосом. Выбор начальных условий в областях притяжения каждого из аттракторов выводит систему на различные колебательные режимы. В этом случае говорят, что в системе наблюдается «эффект буферности» [16, 36].
Задача обнаружения эффекта буферности и синтезирования систем, обладающих этим эффектом, оказывается весьма непростой. Разработка техники обнаружения эффекта буферности для многомерных динамических систем стимулировалась появлением обобщенного принципа Пуанкаре-Бендиксона, принадлежащего Р.Смиту [167, 168]. С использованием этого принципа в работах [16, 18, 19] были получены оценки числа циклов многомерных моделей регулируемых систем с одним нелинейным блоком.
Отметим, что интерес представляет не только оценка числа циклов нелинейной динамической системы, но и оценка областей притяжения орбитально устойчивых циклов. Предложенный в диссертации общий подход к оценке структуры глобального аттрактора (числа циклов и областей притяжения орбитально устойчивых циклов) многомерных систем автоматического регулирования приводит к необходимости решения матричных неравенств. Матричные неравенства широко применяются также в задачах теории устойчивости, теории управления, обработки сигналов, адаптивных и оптимальных систем. Вопросами разрешимости матричных неравенств занимались, например, А.Н. Чурилов, П.В. Пакшин,
В.А. Якубович, А.Л. Фрадков [68, 93-97, 87, 88, 108-110]. В последние годы появилось много программных пакетов с решателями матричных неравенств, таких

еле команды «Сформировать новую задачу» равно 0. На рисунке 1.4 показана вкладка матрицы А уже после изменения значений.
После заполнения матриц на вкладках: «Матрица А», «Матрица В», «Матрица g», «Матрица Г», «Матрица G» производится запись данных в соответствующие файлы. Эта операция выполняется командой «Сохранить данные» пункта меню «Файл». Файлы записываются в рабочий каталог.
По умолчанию рабочим каталогом является каталог, в котором находится программа. Для изменения рабочего каталога используется команда «Назначить рабочий каталог» пункта меню «Файл». При выполнении команды можно создать новый каталог. По команде «Назначить рабочий каталог» в выбранный каталог копируются из каталога программы все файлы (если они есть), которые перечислены в файле «Prog.ini».
Второй режим - режим редактирования файлов «nm.txt», «A.txt», «B.txt», «g.txt», «gamma.txt», «Gl.txt» - предполагает начальную их загрузку в окно программы. Загрузка выполняется командой «Загрузить данные» пункта меню «Файл». Чтение файлов выполняется из рабочего каталога. Далее работа выполняется как в первом режиме.
Третий режим инициируется командой «Выполнить расчеты». По команде вначале определяется размещение в системе математического пакета Maple, а затем запускается консольный вариант Maple - «Cmaple.exe». В cmaple.exe выполняется программа «Matrixlnequality». В процессе выполнения расчетов используются файлы «nm.txt», «A.txt», «B.txt», «g.txt», «gamma.txt», «Gl.txt». Поэтому они должны находиться в рабочем каталоге и должны быть заполнены корректными данными. В результате выполнения программы «Matrixlnequality.exe» формируются файлы «H.txt», «Vals.txt».
После выполнения расчетов можно использовать элементы анализа решения на вкладке «Результаты» (четвертый режим). В счетчике, расположенном в левой части, вкладки выбирается номер матрицы Я., 2 = 1,/г. По команде «Загрузить результаты» в окно «Матрица Н» загружаются значения выбранной матрицы Нп