Использование цепных дробей для решений дифференциальных уравнений и оценки адекватности математических моделей динамических систем

• Автор: Яралиева, Бугаят Сарухановна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 87 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Оценки погрешности модели цепных дробей для различных функций
§ 1. Тригонометрические и гиперболические функции
§ 2. Скорость сходимоси двух цепных дробей
§ 3. Об одной периодической ЦД
§ 4. Модель ЦД для функции Бесселя
ГЛАВА II. Цепные дроби и интегрально-параболическое интерполирование
§ 1. Интегральное и интегрально-параболическое интерполирование
§ 2. Связь интегрально - параболического интерполяционного
многочлена с ЦД
ГЛАВА III. Решение дифференциальных уравнений с помощью ЦД. Другие приложения ЦД
§ 1. Скорость сходимости ЦД для решений дифференциальных
уравнений
§2. Разбор типовых задач дифференциальных уравнений
§3. О теореме Гурвица
§4. Задачи Жуковского
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Как известно, понятие «функция» в чистой и прикладной математике имеет различное содержание. В первом случае оно воспринимается как конкретное выражение одной переменной через другую; изучение функции сводится к изучению различных свойств этого выражения. В прикладной математике «функция», прежде всего, есть конечная последовательность арифметических действий, с помощью которых из заданного значения одной переменной можно получить значение другой переменной. «Функция» прикладной математики является моделью «функции» чистой математики. Замечательно, что есть множество функций, которые сами по себе являются моделями. Таким множеством является линейное пространство всех алгебраических многочленов или отношений многочленов.
Одной и той же функции можно сопоставить различные модели, выбор которой зависит от решаемой задачи. Для широкого класса функций с точки зрения возможности получения их значений с наперед заданной точностью за наименьшее количество арифметических действий (за наименьшее машинное время) наилучшими моделями являются подходящие дроби цепных дробей. Цепные дроби имеют долгую историю (см., напр., [1]-[4]). Приведем основные обозначения и определения.
Пусть имеются две последовательности многочленов Ь0(х), 6, (*),...; а,(х),а2(х),
Цепной дробью называется выражение вида

ЬМ+К ш ’ (V
выражение
р(Л п („ (Л

Ш-Ш-ьМ+кШ
-ДМ*))
называется ее подходящей дробью п - го порядка. Многочлены а,(х), Ь,(х) называются элементами цепной дроби (ЦД).

ЦД (1) записывают и в развернутом виде
Ь(Х+^М. а?(*)
0+ ь2(*)+‘”
Если существует конечный lim/ =/, то ЦД (1) называется сходящейся;
при этом / называется значением ЦД (1). Если же написанный предел не существует (существует, но равен бесконечности), то ЦД (1) называется расходящейся существенно (не существенно).
ЦД (1) эквивалентна (т.е., имеет одинаковые подходящие дроби) обыкновенной ЦД (если а,,а2,...~ натуральные числа, то ЦД называется правильной)
«о +К

„ _А _ аг • •••• а2к-Фгк- _ а ' •••'а2к-^2к
и0 ~ и0 » 2ІС-І ~ ) и2к ~ '

(здесь Ък = Ьк (х), ак = ак (х)).
При Ь0 - О ЦД (1) эквивалентна ЦД

С = —, с = ———, и > 2.

Д. Бернулли в 1775 г., [4] поставил и решил задачу: Найти ЦД (1), подходящие дроби /п которой имеют наперед заданные значения Кп, где Кп -заданные числа, из которых никакие три рядом стоящих не равны между собой. Искомая Ц Д имеет вид
К | К>~К2 Кі~К> (к1 -кйк2 -к3) {к„.2-кп_,1к^-кп)
1 + к2-к0+ к,-к, + - Кп-к„_г +-
Пусть заданы две ЦД
где 0(1) зависит только от т. Так как ]^(l + 0(5,)) = С", где С

константа, то окончательно имеем
Теорема 2. Для |z| s 1 при п оо будет
( п )
константа входящая в О зависит только от т и не зависит от п.
- абсолютная