Численные методы определения параметров нелинейных математических моделей на основе стохастических разностных уравнений

• Автор: Романюк, Мария Анатольевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 378 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ И ДОСТОВЕРНОСТИ ОЦЕНОК В ЗАДАЧАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ПЕРСПЕКТИВЫ ЕЁ РЕШЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ
1.1. Описание и анализ эффективности известных численных методов определения параметров нелинейных математических моделей по результатам наблюдений
1.2. Перспективы решения задачи повышения адекватности и точности вычисления параметров нелинейных математических моделей на основе линейнопараметрических дискретных моделей в форме разностных уравнений
1.3. Выводы по главе
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
2.1. Математические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей в форме разностных уравнений
2.2. Формирование линейно-параметрических дискретных моделей для основных типов одномерных нелинейных функциональных зависимостей
2.3. Построение разностных схем для двумерных эволюционных процессов
2.4. Выводы по главе
ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1 Построение разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений исследуемого динамического или эволюционного процесса
3.2. Численный метод определения параметров нелинейных функциональных зависимостей па основе линейно-параметрических дискретных моделей
3.3. Разработка и исследование итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения
3.4. Разработка и исследование итерационных процедур уточнения коэффициентов разностного уравнения при их взаимосвязи
3.5. Определение параметров двумерных процессов на основе разностных схем
3.6. Результаты численно-аналитических исследований эффективности

разработанного численного метода оценивания параметров нелинейных математических моделей на основе разностных уравнений
3.7. Выводы по главе 3
ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ АПРОБАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМ РАЗЛИЧНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ
4.1. Параметрическая идентификация процессов эволюции биологической популяции на основе разностных уравнений
4.2. Численный метод определения параметров логистической функции Рамсея
на основе разностных уравнений
4.3. Определение параметров типовых ударных воздействий по их амплитудно-частотной характеристике
4.4. Сравнительный анализ метода последовательного выделения экспоненциальных слагаемых для аппроксимаций кривых ползучести и численного метода на основе разностных уравнений
4.5. Определение параметров двумерною эволюционного процесса, наблюдаемого при экспериментальном исследовании ползучести поливинилхлоридного пластиката
4.6. Выводы по главе 4
ГЛАВА 5. РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
5.1. Описание основных этапов алгоритма вычисления параметров нелинейных математических моделей на основе разностных уравнений
5.2. Описание основных элементов и интерфейса программы, системы диалоговых и информационных окон
5.3. Выводы по главе 5
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ВВЕДЕНИЕ
Важнейшей проблемой математического моделирования является проблема параметрической идентификации нелинейных систем различной физической природы на основе результатов наблюдений, полученных в ходе научно-технического, промышленного экспериментов или в процессе естественного функционирования системы. Достоверность и оперативность оценок параметров математических моделей существенным образом влияет на эффективность применения этих моделей в научных исследованиях, производственной деятельности, в социальной и экономической сферах, а также при решении задач, связанных с управлением, прогнозированием и т.п.
При использовании математического описания различного рода динамических, эволюционных процессов в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений математической физики в частных производных, как правило, требуется построение их точных или приближенных решений, представляющих собой нелинейные функциональные зависимости, параметры которых подлежат определению по результатам наблюдений. Например, в машиностроении одной из основных проблем является проблема параметрической идентификации нелинейных диссипативных механических систем в процессе их эксплуатации или прочностных промышленных испытаний. Свободные колебания таких механических систем при диссипативной силе, пропорциональной п - ной степени скорости движения,
описываются уравнением вида: ту" {})+Ьу'{{у'(})!' 1 + су(/)=0 [93]. Это связано с тем, что
результаты различных исследований на конкретных примерах подтверждают непосредственную связь между техническим состоянием механической системы (например, возникновением и развитием микротрещин в деталях, появлением зазоров и люфтов в узлах конструкций, технологическим браком при сборке, недопустимым износом контактирующих поверхностей и т.п.) и сё динамическими характеристиками, в том числе показателем нелинейности п рассеяния энергии колебаний системы. Поэтому динамические характеристики диссипативной механической системы идентифицируют как основной диагностический признак её технического состояния, а их достоверная оценка по экспериментально снятой вибро-

сов(о)/ +^о), является одной
грамме свободных колебаний: у(/)=ао 1 + («-1 **
[_ 2пс
из основных задач диагностики механических систем.
Другим примером из механики может служить математическое моделирование напряженно-деформированного состояния в упрочненном слое элементов конструкций после
процедуры поверхностного пластического деформирования в условиях ползучести: р = са'",

ряют условию (2.5), и функции вида /(/) = — е Н являются частными случаями
2>ДгкД

выражения (2.6) и принадлежат классу Н . Если /^)е Н, то и ИОГ-^.н.
Теорема 2.2 [72]. Пусть функции /,(/)е Н и /2(/)е Я. Тогда линейная комбинация этих функций, их произведение и отношение также будут принадлежать классу функций
Н, то есть: с,/Д/) + с2/2(/)е Я, /,(/)/2(/)еЯ и —е Я, /2(/к 0, где с, и с2 -произ-

вольные постоянные.
Из теоремы следует, что поскольку обобщенные многочлены ф(0 = Ев,(ок(г)е я и т(0 = Еь,(°к2(Д6 #. то функция /(/) = е Я.
Представим некоторую нелинейную функцию у(/) в виде:
Е«,(«к(
у(/)= П, еЯ. (2.7)
1+ЕЛД°кД

Отметим, что эта функция в общем случае описывает все зависимости (кроме двумерной), представленные в таблице 1.1.
Зафиксируем ее значение в некоторой точке / = /4: ук =у([к) и введем следующие обозначения: а, (б) = а0,, Ъ/ (б) = Ь0:
Еао^.к)
--------- е Я. (2.8)
1 + ЁМо(0 /=
Зафиксируем теперь значение функции (2.7) в точках 1 = 1к-т,: ук_, = у([к - г,) и введем обозначения: а,1=а1(т1), Ь, =бДт(), где 1 = 1,2,...,р, / = 1,2,...,«, у = 1, 2,..., т. Тогда получим линейную алгебраическую систему из р уравнений относительно <р,(/,), / = 1,2,...,и, и Ч'Д/*), у =1,2,...,/я:
л-. = Ж-*■.)=—х---------, л_2=>к-ь)= -'Д,-------’
1+2Х^ДО 1+Е/^ялк)
7=1 7=