Численное моделирование течений в приближении мелкой воды на основе регуляризованных уравнений

• Автор: Булатов, Олег Витальевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 155 с. : ил.

Оглавление

Введение

Глава 1. Регуляризованные уравнения мелкой воды и метод численного

решения

1.1 Уравнения мелкой воды

1.2 Регуляризованные уравнения мелкой воды

1.3 Регуляризованные уравнения для течений при малых числах Фруда

1.4 Численный метод для одномерных течений

1.5 Задача Римана

1.5.1 Построение автомодельного решения

1.5.2 Результаты численного расчета
1.6 Задача о транскритическом течении над неровностями дна
1.7 Задача об отражении поверхностных воли от подводной возвышенности
1.8 Автомодельное решение и численное моделирование задач Римана при наличии уступов дна
1.8.1 Введение
1.8.2 Тест
1.8.3 Тест
1.8.4 Тест
1.8.5 Тест
1.8.6 Тест
1.8.7 Оценка точности численного метода
Глава 2. Условие сухого дна для одномерных задач
2.1 Постановка условия для сухого дна на примере водоема с холмом и сухим верхом

2.2 Одномерный разрыв
2.3 Задача Римана с разбегающейся жидкостью
2.4 Сравнение точного решения с численными расчетами для случая постоянного наклона дна
2.5 Набегание цунами на наклонный берег
Глава 3. Обобщение алгоритма на пространственные течения
3.1 Численный алгоритм для двумерной прямоугольной сетки
3.2 Условие покоящейся жидкости для неровного дна
3.3 Задача о разрушении несимметричной дамбы
3.4 Набегание цунами на берег сложной формы
3.5 Расчеты волны прорыва в расширяющемся канале
Глава 4. Численный метод для неструктурированных сеток
4.1 Разностная аппроксимация уравнений
4.2 Эффективная реализация численного алгоритма
4.3 Условие покоящейся жидкости
4.4 Задача о разрушении столба жидкости
4.5 Задача о разрушении плотины и затоплении поверхности с тремя конусами
Заключение
Приложение А. Усовершенствования алгоритма для задач сухого дна . . 131 Приложение Б. Численное моделирование течений газа на основе ква-
зигидродинамических уравнений
Б.1 Система уравнений и численный алгоритм
Б.2 Задачи Римана о распаде разрыва
Литература

Введение
Движение несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в поле сил тяжести может быть описано в приближении мелкой воды. Уравнения мелкой воды (МВ) представляют собой упрощенную модель полных уравнений Навье-Стокса, описывающих пространственные нестационарные течения вязкого сжимаемого газа [1], [2], [3], [4], [5]. При выводе системы уравнений МВ предполагается, что среда представляет собой достаточно тонкий слой, глубина которого много меньше его продольного размера, поэтому вертикальной составляющей скорости в слое можно пренебречь и полагать, что продольные скорости постоянны по толщине слоя. Дополнительно предполагается, что жидкость несжимаема, находится в поле сил тяжести, и ее температура постоянна [6], [7] [8].
Математическая модель мелкой воды широко используется для решения задач, представляющих как академический, так и практический интерес. К последним относится моделирование течений в относительно неглубоких водоемах, реках, водохранилищах, течений вблизи побережья морей и океанов, расчет волн цунами и сброса вод вблизи гидроэлектростанций, а также множество других задач, непосредственно связанных с проблемами экологии. Это приближение также применяется для описания береговых течений, гидравлических течений в водозаборниках, технических сужениях и лотках, распространения волн прорыва при разрушении гидротехнических сооружений и приливных бор в реках. Подробную информацию о разнообразных задачах физики, где применяется модель мелкой воды, можно найти в книгах [8], [9].
Приближение мелкой воды применяется к атмосферным течениям и используются для задач прогноза погоды [10]. Уравнения мелкой воды используется при численном моделировании крупномасштабных атмосферных и океанических течений ( [11], [12], [13]), где существенны ускорения Корио-лиса и его широтные вариации.

Рис. 1.7. Течение с разрывом. Слева - распределение числа Фруда Тг. Справа - распределение потоков ]т и Ни. Ах = 0.125 и 0.0625.
численных результатов к аналитическому решению для числа Фруда (рис.
1.7, слева). Для сетки Ах =0.125 м. максимальное значение числа Фруда составляет Рг1пах = 2.35, для сетки Аж— 0.0625м. будет Ргтах= 2.48, аналитическое значение равно Ргтах=2.78. Заметим, что, в отличие от результатов из [59] и цитируемых в ней работ, в представленных расчетах не наблюдается превышения величины числа Фруда над его аналитическим значением.
Согласно [59], соответствие численного и аналитического решений задачи в зоне над препятствием представляет собой наиболее сложную проблему практически для всех численных алгоритмов.
1.7. Задача об отражении поверхностных волн от подводной возвышенности
В иностранных публикациях данную задачу также называют тестом Ье Уецие. В этой тестовой задаче (работа [43], а также [59], [61]) изучается поведение сю временем слабого возмущения в покоящемся канате, дно которого