Разработка численно-аналитических методов решения задач тепломассопереноса и термоупругости для однослойных и многослойных тел

• Автор: Кузнецова, Анастасия Эдуардовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 157 с. : ил.

Содержание
Общие сведения о диссертации
1.Обзор работ в избранном направлении исследований
2. Задачи теплопроводности для однослойных и многослойных конструкций
2.1. Ортогональные методы в задачах теплопроводности
с переменными свойствами
2.2. Задачи теплопроводности для многослойных тел
2.3. Использование асимметричной единичной функции в краевых задачах теплопроводности для многослойных тел
2.4. Краевые задачи с нелинейностью в уравнении и граничном условии
2.5. Решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности
2.6. Расчет теплообмена при турбулентном движении жидкости
в плоском канале
3. Термоупругость с переменными физическими свойствами конструкций
3.1. Нахождение аналитических решений краевых задач термоупругости с переменными свойствами среды
3.2. Термоупругость в многослойных конструкциях
3.3. Температурные напряжения в многослойном полом
цилиндре при тепловом ударе на его внешней поверхности
3.4. Исследование температурного и термонапряженного
состояния барабанов котлов тепловых электрических станций
4. Математическое моделирование теплообмена и гидродинамики с учетом конечной скорости распространения теплоты
4.1. Нестационарный теплообмен в цилиндрическом канале при ламинарном течении жидкости
4.2. Математическое моделирование гидравлического удара
в трубопроводе
4.3. Получение решений гиперболических уравнений теплопроводности при граничных условиях третьего рода
4.4. Гидродинамика и теплообмен в турбулентном
пограничном слое
5. Компьютерные программы решения задач термоупругости для многослойных тел с кусочно-однородными свойствами среды
5.1. Реализация метода построения систем координатных функций
для решения задач термоупругости в среде mathcad
Выводы
Список используемых источников и литературы
Приложения

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность работы. В области исследования краевых задач тепломассопереноса и термоупругости с переменными физическими свойствами среды (в том числе нелинейных и для многослойных конструкций) возможности математического моделирования в настоящее время существенно ограничиваются практическим отсутствием их точных аналитических решений.
Перспективным направлением исследований указанных задач является комбинация точных (разделения переменных, интегральных преобразований и др.) и приближенных (вариационных, взвешенных невязок и др.) методов. К числу преимуществ этого направления относится универсальность, простота реализации при высокой точности. При совместном использовании точных и приближенных аналитических методов в конечном итоге приходиться решать алгебраические уравнения высоких степеней (относительно собственных значений краевой задачи) и системы алгебраических уравнений (при выполнении начальных условий). Такая алгебраизация краевой задачи позволяет более трудоемкую часть решения выполнять на современных средствах вычислительной техники и, в то же время, получать решения в аналитическом виде.
Основными пока ещё не решенными проблемами при использовании указанного направления исследований являются: плохая обусловленность матриц систем алгебраических уравнений; трудности решения алгебраических уравнений высоких степеней, от точности решения которых зависит точность выполнения исходного дифференциального уравнения краевой задачи; плохая сходимость бесконечных рядов точных аналитических решений, в случаях, когда такие решения удается получить.
Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных численно-аналитических методов математического моделирования задач тепломассопереноса и термоупругости с переменными свойствами среды, включая нелинейные задачи и задачи для многослойных тел, на основе совместного использования методов разделения переменных, Л.В. Канторовича, интегральных методов, Бубнова-Г алергшиа, обобщенной функции Хевисайда и дополнительных граничных условий.
Для достижения этой цели ставились следующие задачи.
1. Разработка численно-аналитического метода решения краевых задач теплопроводности для многослойных конструкций путем совместного применения теории обобщенных функций и интегрального метода, основанного на введении фронта температурного возмущения при использовании дополнительных граничных условий.
2. Разработка численно-аналитического метода решения краевых задач термоупругости для многослойных тел на основе использования метода Бубнова-Галеркина и предложенного в диссертации метода построения

координатных систем, удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения.
3. Разработка приближенного аналитического метода решения задачи теплопроводности с нелинейностью в уравнении и в граничном условии путем введения фронта температурного возмущения с дополнительными граничными условиями.
4. Разработка точного аналитического метода решения дифференциального уравнения движения применительно к задаче о гидравлическом ударе в трубопроводе.
5. Получение точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности с учетом конечной скорости распространения теплоты при граничных условиях третьего рода.
6. Разработка математических моделей решения обратных задач теплопроводности с целью идентификации краевых условий и физических свойств среды, используя полученные в диссертации решения прямых задач.
Новые научные результаты диссертационной работы.
1. Посредством определения фронта теплового возмущения в интегральном методе разработан приближенный аналитический метод решения краевых задач теплопроводности для многослойных тел, позволяющий находить решения на всем отрезке времени нестационарного процесса с высокой точностью.
2. На основе применения метода Бубнова-Галеркина и предложенного в диссертации метода построения координатных систем, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения, предложен численно-аналитический метод получения решения задач термоупругости для многослойных тел, отличающийся простотой аналитических выражений и высокой точностью получаемых результатов.
3. Путем введения фронта температурного возмущения, а также дополнительных граничных условий разработан приближенный метод решения краевых задач теплопроводности с нелинейностью в уравнении и граничном условии, позволяющий получать достаточно простые по конструкции аналитические решения с точностью, достаточной для инженерных приложений.
4. Получено точное аналитическое решение гиперболического уравнения движения, описывающего распределение скоростей в движущихся жидкостях в условиях гидравлического удара в трубопроводе.
5. Получено точное аналитическое решение уравнения теплопроводности с учетом конечной скорости распространения теплоты при граничных условиях третьего рода, моделирующего температурное состояние конструкций.
6. Используя полученные в диссертации аналитические решения и экспериментальные данные о температурном состоянии конструкций, предложен метод решения обратных задач теплопроводности по идентификации начального условия.

0(г,т) = {[-г/ц)1. (2.113)
Для вычисления неизвестной функции с/(т) составим невязку уравнения (2.106) и вычислим интеграл от нее в диапазоне фронта возмущения
50(г, т)
г Я2:
520(г,т)
^ = Г —— сіг.
5т { дг
(2.114)
Вычисляя интеграл в соотношении (2.114), с учетом (2.111) и (2.113) получаем
і.: я2,
5 0((7,т) , б0(9, т) 50(0, т)
- аг = - —
(2.115)
о дг дг дг q
Для произведения Х(г)С(г) левой части выражения (2.114) аналогично (2.93), (2.94) будем иметь
адсоо-х.с, + Х(а,+1с+

Подставляя (2.113), (2.115), (2.116) в (2.114), определяем
(2.116)

і 2 ^
1----------2 Н
А,,С,Й?Л +

, 2 г
1 Г + —
V ч ч
^{К£1+х-С)н{г-г)аг

Определяя интегралы в последнем соотношении, будем иметь

^.С.+Х^С.-АС,)
Зг2 2г
Ч---------- + —
Я Ч у

(2.117)
Находя общий интеграл уравнения (2.117), с учетом условия д(0) = 0 получим
( 3 Л
ЧХСх+1(К^~С) Ч2-б2>^--4^ + Зг2 Я(9-г,) = 12т. (2.118)
I г, Ч )
Например, для двухслойной конструкции будем иметь
д2Х,С, + {Х2С2-Х1С1)
( з X
д2 -6г2п — -4 — + 3г,
Я(0-л,) = 12т. (2.119)
Положив ^ = гл, из (2.118) определяем время завершения первой стадии
т = т,.
Уравнение (2.119) относительно д(т) является нелинейным уравнением. Его решение может быть получено лишь численными методами. Из-за отсутствия возможности явного представления величины д(х) создаются неудобства и в расчетах фронта возмущения и температурного поля конструкции. Для нахождения приближенного решения уравнения