Интегральные динамические модели : приближенные методы и приложения

• Автор: Сидоров, Денис Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 353 с. : ил.

Оглавление
Введение

Часть I Интегральные динамические модели: элементы анализа

Глава 1 Линейные модели Вольтерра с кусочно-заданными ядрами: асимптотические и численные методы

1.1 Уравнения Вольтерра I рода (скалярный случай)

1.2 Численные методы решения уравнений Вольтерра I рода

с кусочно-непрерывными ядрами

1.3 Системы уравнений Вольтерра I рода

1.4 Обобщенные решения уравнений Вольтерра I рода

1.5 Уравнения Вольтерра I рода с разрывной правой частью

Глава 2 Нелинейные динамические модели:
существование и асимптотики решений
2.1 Нелинейное уравнение Гаммерштейна
2.2 Существование и разрушение решений уравнений
Вольтерра II рода
2.3 О ветвлении решений нелинейных дифференциальных уравнений
2.4 Обобщенные решения в нелинейных моделях
Вольтерра I рода
Глава 3 Операторно-интегральные динамические модели: существование, построение и разрушение решений
3.1 Линейные операторные уравнения Вольтерра I рода
с кусочно-заданными ядрами

3.2 Нелинейные операторные модели Вольтсрра: существование и разрушение решений
3.3 Нелинейные дифференциально-операторные уравнения с вырождением
3.4 Операторные уравнения Вольтерра II рода в нерегулярном случае
3.5 Последовательные приближения решений нелинейных уравнений с векторным параметром в нерегулярном случае .
Часть II Приложения интегральных преобразований в моделировании нелинейной динамики и в обработке сигналов iso
Глава 4 Идентификация полиномиальных
моделей Вольтерра
4.1 Моделирование нелинейных динамических процессов
в частотной и временной областях
4.2 Идентификация моделей Вольтерра во временной области
Глава 5 Интегральные модели в обработке сигналов
и в машинном обучении
5.1 Интегральные модели в анализе и прогнозировании временных рядов
5.2 О подавлении квазипериодического шума (муара)
5.3 Интегральные признаки в задачах машинного зрения
Заключение
Библиографический список
Основные обозначения
Предметный указатель

Введение
Интегральные уравнения и интегральные преобразования лежат в основе многих динамических моделей различных физических процессов. Именно интегральная форма является первичной в теории фудаменталь-ных физических законов сохранения. Интегральные модели динамических систем позволяют эффективно решать многие задачи прикладной математики, возникающие в энергетике, в химической промышленности, в биомедицине и в других областях науки и техники.
История развития теории интегральных уравнений и интегральных преобразований насчитывает более полутора столетий. Такие модели привлекали внимание выдающихся математиков и механиков начиная с XIX века в связи с фундаментальными вопросами естествознания. Интегральные законы сохранения лежат в основе математического моделирования проблем естествознания. Методы теории интегральных уравнений позволяют доказывать не только теоремы существования начальнокраевых задач, создавать эффективные численные методы, но и стимулируют появление новых областей нелинейного анализа. В наше время теория интегральных динамических моделей стала обширной областью. Опубликовано большое количество статей и монографий (см., например, работы Н. Brunner, A. Lorenzi, H.-J. Reinhardt, А. С. Апарцина, Б. А. Бельтюкова, И. В. Бойкова, М. В. Булатова, А. Л. Бухгейма, А. Ф. Вер-ланя, Ю. Е. Воскобойникова, В. В. Васина, В. К. Горбунова, А. М. Денисова, Н. Д. Копачевского, А. С. Леонова, М. М. Лаврентьева, Н. А. Магницкого, Ю. С. Попкова, А. И. Прилепко, В. С. Сизикова, В. Д. Степанова, А. П. Хромова, В. Ф. Чистякова, А. Г. Яголы и др.) с обширной библиографией, посвященной интегральным моделям и их приложениям.
приближения xN в этом случае имеет вид
Xj(z) = с0 + CZ Л f сГ]_л + x(z).
В нерегулярном случае, когда г, > 1, постоянные cq. ..., crj_ останутся произвольными, так как тогда функции z г = 0,1,..., гу — 1 удовлетворят у-му однородному разностному уравнению, отвечающему (1.1.15). На практике, используя свойство 1.1.1, коэффициент x,(z) в нерегу-
лярном случае можно строить непосредственно в виде полинома сг2' >

определяя последовательно сп +г ...., со методом неопределенных коэффициентов. При этом числа сг _1,..., со останутся произвольными. Таким образом, в нерегулярном случае, когда L(j) = 0 при натуральном у, при определении коэффициента x3{z) появляются г:] новых произвольных постоянных. Порядок полинома x3(z) на величину кратности г0 корня Л = 1 характеристического уравнения (1.1.16) станет больше порядка п3 правой части уравнения (1.1.15), т.е. порядка полинома М3(г).
Из выше изложенного вытекает основная теорема:
Теорема 1.1.3. Пусть выполнены условия (А), (В). Пусть характеристическое уравнение L(j) = 0 интегрального уравнения (1.1.1) имеет ровно к натуральных корней {уь • ■ ■ ,У/с}- Пусть при этом корень А = 1 j-го характеристического уравнения (1.1.16) имеет кратность ту Тогда уравнение (1.1.1) в С(о,т] имеет решение

х = xt(ln t)t' + tNu(t), (1.1.20)

которое зависит от р = тд + ■ • • + тд произвольных постоянных. Более того, коэффициенты хь асимптотического приближения xN(t) являются полиномами от lnt возрастающих порядков, не превосходящих р. Функция u(t) по вычисленному асимптотическому приближению с фиксированными постоянными строится последовательными приближениями, равномерно сходящимися при t € [0,Т], либо численно из уравнения (1.1.12).