Математические методы и инструментальные средства обработки информации в задачах управления рисками

• Автор: Прохорова, Мария Сергеевна
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 157 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ИНФОРМАЦИИ В СТОХАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ РИСКОМ
1.1. Методы статистической обработки информации в задачах
оценки рисков (на примере фондового рынка)
1.2. Исследование связи решений стохастических задач управления
для разных моделей оценки риска (на примере фондового рынка)
1.2.1. Модель управления риском с линейной сверткой «математическое ожидание-дисперсия»
1.2.2. Модель управления риском с ограничением по доходности.
1.2.3. Модель управления риском с ограничением по дисперсии..
1.2.4. Модель управления риском со сверткой типа отношения
1.2.5. Модель управления риском с вероятностной функцией риска...38 ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
ИНФОРМАЦИИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ РИСКОМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
2.1. Исследование связи решений линейных минимаксных задач управления риском в производственных системах
2.1.1. Задача управления риском с линейной
сверткой критериев
2.1.2. Задача управления риском с использованием
свертки критериев типа отношения
2.1.3. Задача управления риском с ограничением
по величине риска
2.2. Исследование связи решений линейных задач управления
с функциями риска, заданными в метрике 1
2.3. Динамическая минимаксная задача управления риском
для задачи распределения инвестиций

ГЛАВА 3. ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ОБРАБОТКИ
ИНФОРМАЦИИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ РИСКОМ
ЗЛ. Постановка задачи построения автоматизированной системы
поддержки принятия решений в условиях риска
3.2. Описание программы
3.3 Вычислительные эксперименты
3.4. Оценка чувствительности решения к объему
статистической информации
3.5. Оценка устойчивости стратегии инвестора
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ. Код программы

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы математические методы теории принятия решений. Особенно это относится к сфере управления сложными системами, где процессы принятия решений основаны на анализе разнообразной информации. Поэтому теория принятия решений в условиях неполной информации базируется на научных знаниях о процессах обработки информации, составляющих предмет теоретической информатики [6, 50, 51, 63, 87].
В условия неполноты исходных данных о состоянии системы математическая постановка задачи принятия решений может быть сформулирована только на основе некоторой информационной модели [47, 55]. Неточность информации может быть связана с любым элементом системы: функциями цели, ограничениями, состоянием внешней среды, воздействием других систем. Существуют различные подходы к моделированию поведения в условиях неопределенности [20, 22, 57, 58, 59], однако главным при этом является информационный аспект.
Проблемой принятия решений в условиях неполной информации занимались такие известные математики как Р. Беллман, Ю.Б. Гермейер, Л. Заде, H.H. Моисеев, Дж. Нейман и другие. Если имеется неопределенность в формализации цели, как правило, связанная с наличием нескольких критериев эффективности [68, 69], то понятие оптимального решения становится неоднозначным. Первым понятие оптимальности в многокритериальной задаче сформулировал В. Парето в 1904 году. Согласно принципу оптимальности по Парето [101] возможные решения следует искать среди альтернатив, улучшение которых по одним критериям приводит к их ухудшению по другим критериям. Позднее появились другие подходы, позволяющие отбраковывать неприемлемые альтернативы, например, принцип равновесия Нэша [1, 3, 19, 46, 100].

[еК-1е-а{еК-1е)2}{У+2[а2р(еК-хе)(гК-1е)-гК^е}^+ 2 ^
+ [гК~1г-с2р(еК-'г)2] = 0.
Если дискриминант уравнения (1.2.18) неотрицателен, т. е.
(гК~1е)2(с2р(еК~1е) - I)2 > (еК~1е)(1 - а2р(еК-1еЖгК-1г-о2р(еК~1г)2), (1.2.19)
то А.® - решение уравнения (1.2.18), а Т.? - соответствующее ему решение системы (1.2.17).
Теорема 1.2.2. Если для г, К и а2, удовлетворяющих условию (1.2.19) и условию
Т<4 < гК ■—, (1.2.20)
(еК~1е)
где /.4 — множитель Лагранжа, являющийся решением уравнения (1.2.18), коэффициент риска а = у^((гК~1е)-А(еК~1е)), то решения задач (1.2.1) и
(1.2.13) совпадают для полноразмерных портфелей.
Доказательство. Преобразуем функцию Лагранжа (1.2.14) к виду:
/.2(хД3Д4) = гх - Х3хКх + Т,4(1 - хе) + 7,3о^. Тогда имеем
Ь(х, 7.3, 7.4)= 7.2 7.3о^, = гх- Х3хКх + 7.4 (1 - хе). Экстремальное значение
функции 7,(хД3,74) в точке х°Д3,Т.4, определяемой согласно (1.2.16) и (1.2.17) при выполнении условия (1.2.19), равно Ь(х0,Х3,Х<1)-гх0-'к03х0Кх0+Х04(-х0е). Пусть 73=а, тогда
Г(х0Д5) = гх°-ах°Кх° +’к1(1-х°е). При этом х0,^ удовлетворяют условиям экстремума функции Лагранжа Ь(х° Д^) для х > 0:
г- 2аКх° - Х^е, х°е = 1. (1.2.21)
Левые части первой группы уравнений в (1.2.3) и (1.2.21) равны, следовательно, равны и правые, т. е. 7.° =7,4. Значит (1.2.3) эквивалентно
(1.2.13), следовательно, решения задач (1.2.1) и (1.2.13) совпадают для полноразмерных портфелей.