Восстановление линейных зависимостей по неточной информации

• Автор: Волков, Владимир Викторович
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Борисоглебск
• Количество страниц: 135 с. : ил.

Содержание
Введение

Список используемых обозначений

Глава 1. Приближенные СЛАУ как инструмент восстановления линейных зависимостей по неточной информации: формальное описание и методы решения

1.1. СЛАУ с приближенной правой частью и классический метод

наименьших квадратов

1.2. Регуляризованный метод наименьших квадратов А. Н. Тихонова

1.2.1. Формализация регуляризованного метода наименьших квадратов

1.2.2. Обобщение теоремы Тихонова об устойчивом приближении РМНК-решения к нормальному решению точной системы на случай неодинаковых погрешностей матрицы коэффициентов и правой части приближенной СЛАУ

1.2.3. Сведение РМНК к задаче математического программирования

1.2.4. РМНК для приближенной системы линейных алгебраических уравнений с фиксированным блоком матрицы коэффициентов
1.3. Матричная коррекция приближенных несовместных СЛАУ
1.3.1. Постановки задач матричной коррекции приближенных несовместных СЛАУ
1.3.2. Условия существования решения задач матричной коррекции и вид множеств решений скорректированных систем

1.3.3. Задачи матричной коррекции несовместных СЛАУ специального вида с матрицами Теплица (Ганкеля)
Глава 2. Исследование взаимосвязи методов регуляризации и матричной коррекции при нахождении устойчивых решений приближенных СЛАУ
2.1. Теорема об условиях эквивалентности задачи РМНК задаче
минимизации сглаживающего функционала, методу наименьших квадратов и матричной коррекции
2.2. Вспомогательные леммы
2.3. Доказательство теоремы и численные примеры
Глава 3. Вычислительные алгоритмы восстановления линейных зависимостей, формализованных приближенными ' СЛАУ
3.1. Алгоритмы матричной коррекции приближенных СЛАУ
3.1.1. Матричная коррекция несовместных СЛАУ по мини-
муму евклидовой нормы, взвешенной с произвольными положительными весами
3.1.2. Матричная коррекция несовместных СЛАУ со специ-
альной структурой по минимуму взвешенной евклидовой нормы
3.1.3. Вычислительные эксперименты
3.2. Алгоритмы РМНК
3.2.1. Методы построения модельных приближенных СЛАУ .
3.2.2. Алгоритм РМНК основанный на использовании усло-
вий Лагранжа и его модификация на случай набора точных столбцов в приближенной матрице коэффициентов исследуемой СЛАУ
3.2.3. Минимаксный алгоритм РМНК
Глава 4. Оценка близости решения РМНК-решения приближенной системы к гипотетическому решению точной системы при точной правой части и приближенной матрице коэффициентов
4.1. Априорные нижние оценки максимальной относительной погрешности решения задачи РМНК
4.2. Вычислительные эксперименты
Глава 5. Примеры использования аппарата приближенных СЛАУ для решения практических задач восстановления линейных зависимостей по неточной информации
5.1. «Очистка» измерительных данных приближенной линейной модели от шума на примере задачи позиционирования объекта с использованием глобальных спутниковых навигационных систем
5.1.1. Общие сведения о системах глобального позиционирования
5.1.2. Математическая модель систем глобального позиционирования
5.2. Восстановление линейных зависимостей, формализованных интегральными уравнениями Фредгольма первого рода
5.3. Параметрическая идентификация сигнала, являющегося решением системы линейных разностных уравнений на примере задачи прогнозирования солнечной активности
Заключение
Литература

1.3.2. Условия существования решения задач матричной
коррекции и вид множеств решений скорректированных систем
Здесь приведем без доказательств теоремы об условиях существования решений рассматриваемых задач матричной коррекции. Подробное обоснование указанных результатов приведено в работе [53].
Теорема 1.3.1 (О существовании и виде решения задачи ZШal(A) 6)). Пусть дана система линейных алгебраических уравнений вида (1.1)—(1.2). Тогда для оптимального значения целевой функции в задаче Ztota^{A,b) справедлива формула
. Хшаі{А, Ь) —

Задача Ztota^{A, Ь) имеет решение тогда и только тогда, когда существует вектор
У* € Хп
такой, что
При этом
Уп+1 Ф о.
Г 1 Г 1 н ¥г ^
Н* -к* — -А Ь 1 1.
Є Ті Шаі{А, Ь)) ,
Х{А + Н*,Ъ + Ь?) = х*,

Следствие. Если корректируемая система (1.1)—(1.2) такова, что гапк А < п, то задача Ztotal{A, Ь) не имеет решения.