Моделирование вычислительного процесса, разработка алгоритмов и пакета прикладных программ для вычисления экспоненциальной функции на программируемых логических интегральных схемах

• Автор: Мо Чжо Чо
• Шифр специальности: 05.13.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 206 с. : ил.

Содержание
Введение

ГЛАВА 1. Методы вычисления показательной функции

1.1.Общие свойства показательной функции

1.2.Методы вычисления натуральной показательной функции

1.3.Метод разложения в степенной ряд

1.3.1 .Исходная формула разложения

1.3.2.Повышение точности вычисления

1.4.Методы ортогонального приближения

1.4.1 .Многочлены Чебышева

1.4.2.Многочлены Лежандра

1.5.Метод многочленного приближения
1.6.Метод разложения в цепные дроби
1.7.Метод рациональных приближений
1.8.Метод БВЕ
1.9.Сравнительный анализ различных методов вычисления
Выводы но главе 1
ГЛАВА 2. Аппаратная реализация основных математических операций
2.1 .Реализация операций сложения-вычитания
2.2.Реализация операции умножения
2.2.1.Реализация умножителя на логических блоках
2.2.2.Реализация умножителя с использованием встроенных блоков
2.3.Понятие сложности вычисления произвольной функции Дх)
2.4.Методы быстрого умножения
2.4.1 .Алгоритм умножения методом Карацубы
2.4.2.Граф алгоритма быстрого умножения
2.4.3.Программная реализация алгоритма быстрого умножения
2.5.Сравнение умножителей реализующих мегафункцию 1рт_тии и метод быстрого умножения
2.5.1.Умножитель на основе только логических блоков
2.5.2.Умножитель, использующий встроенные модули
2.5.3.Временные соотношения метода быстрого умножения
2.6.Реализация операции деления
Выводы по главе
ГЛАВА 3.Особенности организации алгоритма вычисления показательной функции
3.1.Методы сокращения диапазона изменения значения аргумента

3.2.Методы реализации вычисления степенных функций
3.3.Алгоритмы вычисления многочленов Чебышева
3.4.0птимизация алгоритма вычисления функции с использованием многочленов
Чебышева
3.4.1 .Оптимизация расчетного выражения
3,4.2.0птимизация метода вычисления
3.5.Процедура построения графа вычислительного процесса
Выводы по главе
ГЛАВА 4.Вопросы обеспечения точности вычисления экспоненциальной функции на
ПЛИС
4.1.Основные положения
4.2.Понятие числа верных знаков приближенного числа
4.3.Правила округления
4.4.Связь относительной погрешности с числом верных знаков числа
4.5.Определение погрешности при выполнении основных математических операций
4.5.1.Определение погрешности суммы
4.5.2.Определение погрешности разности
4.5.3.Определение погрешности произведения
4.5.4.0пределение погрешности частного
4.5.5. Определение погрешности возведения в степень
4.5.6. Определение погрешности извлечения корня
4.6.Определения количества верных знаков результата
4.7.Общая задача определения погрешности вычисления
4.8.Исследование связи между погрешностями аргументов и вычисляемой функции
4.8.1 .Исходный многочлен Чебышева при3=1 и у=х
4.8.2.Мпогочлен Чебышева при 3=1 и у=2х
4.8.3.Многочлен Чебышева при3=1 иу=Зх
4.8.4.Многочлен Чебышева при )=2 и у=2х
4.8.5.Многочлен Чебышева при j=2 и у=Зх
4.8.6.Многочлен Чебышева при3=1 иу=2,8бх
4.8.7.Многочлен Чебышева при]=2 и у=2,86х
4.9.Сопоставительный анализ различных методов аппроксимации
Выводы по главе
ГЛАВА 5.Практическая реализация алгоритма вычисления
5.1.Блок схема вычислителя

5.2.Нахождение числа правильных разрядов результата основных математических
операций
5.2.Юперация умножения
5.2.20перация возведения в степень
5.2,ЗОперация сложения
5.3.Блок подготовки данных
5.3.1. Реализация блока подготовки данных на умножителях
5.3.2 Определение разрядности используемых аргументов
5.3.3. Реализация блока на сумматоре
5.4. Блок вычисления ЕХР(х)
5.4.1.Реализация алгоритма 4.8.1 (многочлен Чебышева при j=l иу=х)
5.4.2.Реализация алгоритма 4.8.2 (многочлен Чебышева при j=l и у=2х-1)
5.4.3.Реализация алгоритма 4.8.3 (многочлен Чебышева при j=l иу=Зх-1)
5.4.4.Реализация алгоритма 4.8.6 (многочлен Чебышева при j=l и у=2.86х-1)
5.4.5.Реализация алгоритма 4.8.4 (многочлен Чебышева при j =2 и у=2-х-1)
5.4.6.Реализация алгоритма 4.8.5 (многочлен Чебышева при j=2 и у=3-х-1)
5.4.7.Реализация алгоритма 4.8.7 (многочлен Чебышева при j=2 и у=2.86-х-1)
5.4.8. Анализ результатов эксперимента
Выводы по главе
Заключение
Литература
Приложения

Приведенные зависимости показывают, что замена >’ = 2.86,Х —1 позволяет получить минимальную погрешность вычисления во всем выбранном диапазоне изменения аргумента. Максимальное значение этой погрешности почти в 4 раза меньше, чем в случае у — 3 х — 1 и почти на порядок меньше, чем-для у — 2- х-I.
Приведенные зависимости подтверждают сделанные ранее выводы:
• увеличение параметра у приводит к повышению точности вычисления;
• оптимальным, с точки зрения повышения точности вычисления, при ограничении диапазона изменения аргумента 0 < х < 0.7, является использование масштабирования у = 2.86-х —1, при этом в зависимости от требуемой точности необходимо использовать простое или квадратичное представление аппроксимирующей функции;
• выход за допустимую область определения аргумента сопровождается резким увеличением относительной ошибки вычисления.
Расчетные значения максимальной относительной ошибки для X = 0,5, вычисленные для 1.23 и в силу выражения 1.27 сведены в таблицу 1.9. Из нее следует, что при заданной точности вычисления можно уменьшать число членов аппроксимирующего ряда. Нулевое значение относительной ошибки в последнем столбце таблицы свидетельствует о том, что для ее определения не хватает точности используемого программного продукта (МаЙгСаб 13).
Таблица 1.9.
Относительная ошибка % -2.8-1 (Г4 3.6-10'6 -3.7-10'8 2.4-Ю'10 -2.6-10"12
Число членов ряда 1.28 3 3 3
Число членов ряда 1.23 2 3 4
На рис. 1.23 приведены зависимости относительной ошибки вычисления функции ехр(х) с использованием исходного разложения (1,23) и использованием замены переменных вида 1.27 при следующих параметрах: / = 2.86 и у = 2.0.