Методы улучшения в задаче оптимального управления на сети операторов

• Автор: Лемперт, Анна Ананьевна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 93 с. : ил.

1 Многоэтапные процессы

1.1 Постановка задачи и достаточные условия

оптимальности

1.2 Методы слабого улучшения

1.2.1 Вывод алгоритмов

1.2.2 Свойства алгоритмов

1.3 Методы сильного улучшения

1.3.1 Вывод алгоритмов

1.3.2 Свойства алгоритмов

1.4 Задача идентификации по серии экспериментов

2 Оптимизация на сети операторов

2.1 Постановка задачи
2.2 Методы слабого улучшения
2.2.1 Вывод алгоритмов
2.2.2 Свойства алгоритмов
2.3 Методы сильного улучшения
2.3.1 Вывод алгори тмов
2.3.2 Свойства алгоритмов
3 Программно-алгоритмическое обеспечение, тестовые примеры и задачи 59 3.1 Описание программного комплекса
но идентификации
•3.2 Примеры и задачи
3.2.1 Модельные примеры
3.2.2 Задача идентификации коэффициентов но серии
испытаний в модели движения вертолета
3.2.3 Задача нормирования сбросов загрязняющих веществ
Заключение
Литература

В настоящее время существует немало алгоритмов, предназначенных для решения задач оптимального управления. Бурное развитие е середины шестидесятых годов прошлого столетия этого раздела математики связано с требованиями практической деятельности людей. Многие процессы, имеющие место в технических системах, в экономике, в управлении деятельностью человеческого сообщества, моделируются учеными как задачи оптимального управления.
Основополагающими результатами теории оптимального управления являются: принцип максимума Л.С. Поитрягина, метод динамического программирования Р. Веллмана, достаточные условия оптимальности В.Ф.Кротова. На основе этих классических результатов созданы различные методы последовательных улучшений первого и второго порядка. Наиболее изученными оказались такие классы задач оптимального управления как линейные, билинейные, квадратичные задачи. Свойства перечисленных классов задач позволяют упростить многие операции, необходимые для поиска решения, что приводит к созданию эффективных алгоритмов улучшения. Сложнее обстоит дело, когда надо решат ь задачу оптимального управления нелинейной системой, характер нелинейности которой не известен заранее.
Алгоритмы последовательных улучшений, разработанные и предположении, что система и функционал имеют общий вид, как правило, содержат параметры, роль которых - регуляторы шага, обеспечивающие эффективное решение задачи улучшения. В результате', эффективность такого алгоритма в той или иной степени (иногда в очень большой) зависит от выбора значений параметров. В то же время вопрос выбора панлучишх значений параметров либо сводится к решению одномерной задачи минимизации (если она не трудоемка, то решение вопроса закрыто), либо часто не рассматривается, считается достаточным указать только область допустимых значений. Поэтому при практическом решении задачи оптимального управления достаточно хорошие значения параметров ал-

горнтма обычно находятся методом "проб н ошибок", отнимая у пользователя много времени.
Таким обратом, актуальной является проблема управления параметрами алгоритма, в частности, проблема автоматизации поиска наилучших тпачепий параметров на каждой итерации.
Краткий обзор. Разнообразие задач оптимального управления, возникающих в практической деятельности людей, и различные подходы к их решению обусловили создание разных групп методов (алгоритмов, вычислительных процедур). Один из таких подходов заключается в распространении на задачи оптимального управления методов, основанных на необходимых условиях оптимальности.
Большую группу составляют методы градиентного типа |Врайеоп, Хо Ю-Ши, 1972; Васильев О.В., 1991; Васильев О.В., Аргучипцев, 1999; Келли, 19С5; Кротов, Гурман, 1973; Патак, 1974; Сеа, 1973; Федоренко, 1978; Шатровский, 19G2; Энеев, 19С6|. При наличии ограничений на управление и фазовые переменные в градиентных методах первого порядка возникают трудности, которые преодолеваются путем модификации алгоритмов. Некоторые модификации связаны с методом штрафных функций [Гермейер, 1971], другие - что методы спуска в пространстве управлений, представляющие собой аналоги методов конечномерной оптимизации: условного градиента, проекции градиента |Демьянов, Рубинов, 19G8; Федоренко, 1975], возможных направлений [Зойтендейк, 1903; Гюрджнеи, 1980|; сопряженных градиентов [Брайсон, Хо Ю-Ши, 1972; Федоренко, 1978].
В отдельную группу можно выделить методы, основанные на применении разнообразных алгоритмов нелинейного программирования к конечномерным представлениям задач оптимального управления [Евтушенко, 1982; Моисеев, 1975; Мордухович, 1980; Пшеничный, Данилин, 1975].
Еще одну группу составляют метод вариаций в фазовом пространстве [Васильев Ф.П., 1980; Моисеев, 1061, 1066, 1075; Федоренко, 1978] и его разновидности: метод локальных вариаций |Крылов, Черноусько, 19GG; Чсрноусько, Баничук, 1973] и метод блуждающей трубки [Моисеев, 190>6|.
Открытый Л.С. Поптрягиным принцип максимума широко используется для построения вычислительных методов решения задач оптимального управления |Аргучипцев, Васильев О.В., 199G; Васильев О.В., 1991; Васильев О.В., Бельтюков, Терлсцкий, 1991; Васильев О.В., Надежкнна, 199G; Васильев О.В., Срочко В.А., Терлсцкий, 1990; Васильев

№««-(1-а)Г"(и)Г ^+о(|Д^(<)| ,|Диу(0| )]л+о,(|Д.ту(г,-)| ,|Дау| )
Здесь через Ег^Ет^ обозначены единичные матрицы размерностей г(ц)хг(и) и »н(ч)х?н(у) , нроичнодиые функций /?у подсчитываются вдоль начального приближения.
Коэффициенты функций ДД,х4, а4') зададим так, чтобы выражение (2.2.9) не зависело от Д.тД I — О, Лг,_; е В,. Для этого необходимо выполнение следующих соотношений. При г = О, ЛГ, е Д, .) < тУ:
■^(б) - Е РЧъ) ■ К%І(Т ) = О,
*еп,
°*Чъ) - Е [(^(б) • г,,)',,(тл + ^(гл^г(э)4(г;)
»СПА ' ■*'

- 0.
(2.2.10)
(2.2.11)
При ^ = N + 1, N + її, і Є Лу.
При г — 0, ЛГ,7 Є Д:
До (т,-) + Фг](Г]) = 0,
а'Дч(гД .г'-Цг,-) А <т ^(Г,) 0.
фДтД = 0,
2.2.13)
(2.2.14)
(2.2.15) (2.2.10) (2.2.17)
ЯД - ДЕч - (1 - а)^)'1 В% = 0,
ДДо - і&„« (С,ж - (1 - /?;Е, - 0,
Киви - №.« - (1 - а)^’)-1 ёй. = 0.
От оставшихся слагаемых в формуле (2.2.9) найдем минимум по Д«Д выражение для которого будет иметь вид
ДяУ = - у’ДтД - 7и(Ті) - (|/'"Дб) • К1Е)'а.. - К%0»{Ті) ■ к’Е - К^Д/'Дті) - г/У(тї)/£у +
+(1 - п)£'*^> - ](п%иіі - /?д„, (/?:Е„ - (1 - о)/-"“'-/')-1 я;/;,а0)(
х /7ДгД - г/Дт,) - гІ)пі(ті)к
•Д.
(2/2.18)
-/№ - - (і-о)^')-'/^),
Выпишем производные ог функции /£и через производные ОГ (функции 1Р3,/1}, полу-