Развитие методов детерминированного эквивалента и бутстрепа для решения задач стохастического программирования с функциями вероятности и квантили

• Автор: Вишняков, Борис Ваисович
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Задачи вероятностной оптимизации
1.1. Введение
1.2. Основные понятия и определения
1.3. Постановка задач вероятностной оптимизации
1.3.1. Вероятностная постановка
1.3.2. Кваптильная постановка
1.3.3. Постановка с вероятностным ограничением
1.3.4. Обзор существующих методов решения задач вероятностной оптимизации
1.4. Эквивалентность вероятностной и квантилыюй постановок
2 Детерминированные эквиваленты вероятностных задач
2.1. Введение
2.2. Виды рассматриваемых постановок задач
2.3. Случай билинейной целевой функции и сферически симметричного
распределения
2.3.1. Определение целевой функции
2.3.2. Вид функций вероятности и квантили
2.3.3. Детерминированные эквиваленты вероятностных постановок
2.3.4. Выпуклые свойства вероятности и квантили
2.3.5. Пример использования
2.4. Случай возрастающей целевой функции относительно стратегии
2.4.1. Определение целевой функции

2.4.2. Вид функций вероятности и квантили
2.4.3. Детерминированные эквиваленты вероятностных постановок
2.4.4. Выпуклые свойства функций вероятности и квантили
2.4.5. Пример
2.5. Случай возрастающей целевой функции относительно случайного вектора
2.5.1. Определение целевой функции
2.5.2. Вид функций вероятности и квантили
2.5.3. Детерминированные эквиваленты вероятностных постановок
2.5.4. Выпуклые свойства функций вероятности и квантили
2.5.5. Пример
2.6. Случай квадратичной целевой функции и сферически симметричного распределения
2.6.1. Определение целевой функции
2.6.2. Детерминированные эквиваленты вероятностной и квантильной постановок
2.7. Случай аддитивной структуры целевой функции и унимодальной плотности
2.7.1. Определение целевой функции
2.7.2. Вид функции вероятности
2.7.3. Детерминированные эквиваленты вероятностной и квантильной постановок
2.8. Случай сепарабельной структуры целевой функции и логарифмически вогнутой меры
2.8.1. Определение целевой функции
2.8.2. Вид функции вероятности
2.8.3. Детерминированные эквиваленты вероятностных постановок
3 Свойства выборочной оценки квантили и методы ее вычисления
3.1. Введение
3.2. Выборочная оценка квантили
3.3. Асимптотическая оценка среднеквадратического отклонения
3.4. Свойства выборочной оценки квантили для различных распределений

3.4.1. Случай равномерного распределения
3.4.2. Случай экспоненциального распределения
3.4.3. Случай распределения Коши
3.4.4. Аналитическая аппроксимация квантили нормального
распределения
3.4.5. Случай нормального распределения
3.4.6. Сравнение точности оценивания для различных распределений
3.5. Применение метода бутстрепа к вычислению квантили
3.5.1. Идея метода бустрепа
3.5.2. Применение метода несглаженного бутстрепа к вычислению
квантили
3.5.3. Сглаженная оценка квантили
3.5.4. Применение метода сглаженного бутстрепа к вычислению
квантили
3.6. Примеры вычисления бутстреп-квантилей
3.6.1. Представление погрешности оценки квантили
3.6.2. Вычисление квантили для равномерного распределения
3.6.3. Вычисление квантили для нормального распределения
3.6.4. Вычисление квантили для распределения Коши
4 Оптимизация двухшаговой модели изменения капитала
4.1. Введение
4.2. Постановка задачи оптимизации функции дохода
4.2.1. Двухшаговая модель изменения капитала
4.2.2. Анализ классической постановки Марковица
4.2.3. Виды критериев принятия решений и обобщение постановки
Марковица
4.3. Оптимизация функции дохода по квантильному критерию
4.3.1. Построение функции вероятности
4.3.2. Условие эквивалентности задач оптимизации по
квантильному и вероятностному критериям
4.3.3. Свойства функции вероятности
4.4. Оптимизация функции дохода по логарифмическому критерию

Доказательство теоремы 1.1. 1) Пусть существует стратегия иа, являющаяся оптимальной для задачи (1.21). Обозначим <р '= <ра(иа) и рассмотрим решение иа задачи (1-22). Функция вероятности РДиД=Р{х: Р,, X) ра(иа)}. Если для всех и € и выполнено условие (1.18), то из Леммы 1.1 следует РДиД = а. Откуда следует, что ра{иД р. Так как <р а= <ра{иа), то Иф - решение задачи (1.21), следовательно, выполнено первое условие эквивалентности, т.е. II С 1}а.
2) Пусть существует стратегия и/р, являющаяся оптимальной для задачи (1.22). Обозначим аЛ= Р(иД. Если для всех и € и выполнено условие (1.19), то из Леммы 1.2 следует <ра{иД = 1р. Пусть иа - оптимальная стратегия для задачи (1.21) со значением функционала <Ра{иа) = ф. Но тогда ф 6= 1ра{иа) рДиД '= р. Отсюда, в силу убывания функционала РДи) по <р, получим Р,р(иа) Р,р(иа). Так как фЛ= %(«„), то по определению функции квантили получаем РДиа) а. Но так как а выбрана равной а а= РДи), то получаем неравенство РДиД РДиа). Отсюда иа - оптимальная стратегия для постановки (1.22), следовательно, выполнено второе условие эквивалентности, т.е. и а С и у.
Следствие 1.1. Если функция вероятности рр(и) не достигает максимума в единице, то утверждение теоремы остается в силе, если множества а £ (0,1) и р £ Л заменить на множества а € (р*,Р*) и р £ Я 1 й= (<р„,р*), где
р* прЛи)> р*а- 8иР рАи)> (1-23)
1реп{и),и€и у>е(и),иб£
<1е{ / N * йе,/ , ч
Замечание 1.3. Множества эквивалентности в следствии при определенных условиях обобщаются на
1) отрезки: а £ [р*,р*] и <р £ Нх = [р», р*];
2) полуинтервалы типа: а € {р,,р*] и р £ Н = [р*,р*);
3) полуинтервалы типа: а £ [р*,р*) и р £ Нг = (р., р*].
Исходя из следствия 1.1, можно рассматривать эквивалентность вероятностной п квантильной постановок не на интервалах а £ (0,1) или р £ Н, а лишь на некоторых подынтервалах а £ (р.,р*) и р £ (р*,р*). Данный подход применим