Достаточные условия оптимальности управления дискретными системами автоматного типа

• Автор: Коновалова, Анна Александровна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 145 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Достаточные условия оптимальности дискретных систем автоматного типа
при однократных переключениях
1.1. Постановки задач
1.2. Достаточные условия оптимальности
1.3. Алгоритм синтеза оптимального позиционного управления
1.4. Примеры оптимального синтеза при однократных переключениях
1.5. Синтез следящей системы автоматного типа
1.6. Связь достаточных условий с необходимыми
1.7. Выводы
2. Достаточные условия оптимальности дискретных систем автоматного типа
при мгновенных многократных переключениях
2.1. Процессы с мгновенными многократными переключениями
2.2. Постановки задач
2.3. Достаточные условия оптимальности
2.4. Алгоритм синтеза субоитимального позиционного управления
2.5. Примеры оптимального синтеза при мгновенных многократных переключениях
2.6. Выводы
3. Оптимальный вывод спутника на геостационарную орбиту при ограниченном количестве включений двигателя
3.1. Схема вывода спутника на геостационарную орбиту с использованием разгонного блока "Бриз-М"
3.2. Постановка задачи
3.3. Применение условий оптимальности
3.4. Алгоритм приближенного решения задачи
3.5. Результаты расчетов
3.6. Выводы
Заключение
Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ
Современные системы автоматического управления летательными аппаратами (ЛА) являются иерархическими. Цель управления, как правило, достигается в результате многоэтапного процесса при использовании разных режимов функционирования. Управление ЛА в каждом режиме выполняется системой нижнего уровня иерархии, а переход от одного этапа к другому - системой более высокого уровня. На высшем уровне иерархии управление фактически состоит в переключении режимов. Такая организация процесса управления характерна для переключаемых систем. В современной теории управления и ее приложениях подобные системы образуют отдельный класс. Их исследование и применение идет с нарастающей интенсивностью.
Системы с переключениями привлекали внимание исследователей еще в 50-е годы прошлого столетия. Прообразом таких систем считаются обычные релейные системы [97,100] и системы с переменной структурой [44]. Оптимальность релейных систем обнаружилась уже в первых задачах синтеза систем, оптимальных по быстродействию, — в примерах А.А. Фельдбаума [4,91] и Д. Бушоу [4,107]. После доказательства принципа максимума [79] стало ясно, что оптимальность релейного управления свойственна тем задачам, в которых гамильтониан является аффинной функцией управления. Таких задач в области авиационной и космической техники очень много. Дело в том, что управляющие воздействия, обычно применяемые в ЛА, входят в уравнения движения, а, значит, и в гамильтониан линейно. Например, тяга реактивного двигателя, технически ограниченная максимальным значением, ограниченные по модулю отклонения аэродинамических рулей самолетов, ограниченные моменты гиродинов, применяемые для угловой стабилизации космических аппаратов (КА), и т.п. Особое место в теории оптимального управления занимают задачи с эффектом Фуллера [50,93] и скользящие режимы [34,38,60,88], в которых оптимальные релейные управления имеют неограниченное (счетное) множество переключений. Заметим, что эти режимы представляют не только теоретический интерес. Они встречаются во многих прикладных задачах управления движением ЛА [60,89].
Рассмотрим основные классы систем, в которых применяется управление с переключениями.
Различают системы [32], в которых переключения производятся под влиянием внешней среды, сбоев, отказов элементов, подсистем (скачкообразное изменение параметров структуры как объекта, так и обратной связи) — такие системы называют системами со структурными изменениями (возмущениями или управлениями). Системы, для которых структурные изменения (переключения управления) имеются только в контуре обратной связи - называют
системами с переменной структурой (СПС). В монографии Е.Л. Барбашина [9] системами с переменной структурой называются системы, работа которых основана на принципе скачкообразного изменения параметров обратной связи (регулятора). На ряд преимуществ, которыми обладают системы с изменяемыми коэффициентами усиления, обращал внимание Л.М. Летов [64]. А в 60-е годы в разрабатываемой С.В.Емельяновым и его учениками теории систем автоматического управления с переменной структурой [44,45] делается акцент на использование скользящих режимов. Именно в таком варианте достигается полная независимость (инвариантность) уравнений движения от факторов неопределенности (возмущений параметров и внешних сил). В теории систем с переменной структурой эффективно решались следующие актуальные задачи теории управления: основные задачи теории инвариантности, задачи управления при различного рода ограничениях, задачи стабилизации сильно неопределенной системы, задачи идентификации параметров динамических систем и другие.
Импульсные системы представляют собой динамические системы, в которых вектор состояния изменяется непрерывно, а в некоторые моменты времени — скачком. Для описания динамических систем с импульсными воздействиями применяются дифференциальные уравнения с мерами [43,49,71,98,99,123]. Они задают универсальную форму описания траекторий как при непрерывном изменении, так и при скачках. Наиболее полное отражение работ в этом направлении представлено в [43,71], где рассмотрены необходимые условия оптимальности, а также существование решений и их устойчивости. Частным случаем импульсных систем служат дискретно-непрерывные системы (ДНС). Монография [71] содержит изложение теории данных систем. ДНС, если "удалить" в них непрерывную составляющую, будут очень близкими к системам автоматного типа (CAT), которые рассматриваются в диссертации. Конечно, эти системы отличаются формами описания: в моделях ДНС используются дифференциальные уравнения, а в CAT — рекуррентные уравнения или включения. Но это "внешнее" отличие. По существу, системы различаются определением траектории. Это "внутреннее", содержательное отличие разбирается ниже во введении. Нужно заметить, что в [71] получены условия регулярности, а также необходимые условия оптимальности ДПС. В диссертации речь идет о достаточных условиях оптимальности. Поэтому, даже в тех случаях, когда уравнения дают один и тот же класс траекторий, результаты диссертации не пересекаются с результатами [71].
Системы с переменной структурой и импульсные системы относятся к классу гибридных систем, поскольку их эволюция происходит в непрерывно-дискретном времени, а динамика состояния характеризуется интервалами непрерывности и скачкообразным изменением в некоторые (дискретные) моменты времени.

где vJ+l=V^4,y(xk-0)), KJ+l=Vj+xk,y(4-0)), АЧ=тш-тк,
Ат = max Лт. < в, а <а(Дт) —> +0 при Ат —> +0. На промежутке [тп,т.) система сохраняет A=0,1,...,JV
начальное состояние и функция PN (t,g(t,y,v)) > 0, согласно (1.22).
Теперь оцениваем функционал (1.25), учитывая, что минимум суммы не меньше суммы минимумов, получаем

L ä У{-Дт • со(Дт)} + min R(y) + Ф^["С0 - 0] > (P^Ltq - 0] - ш(Дт).
А=1 уеУ
Переходя к пределу при в —> +0 (следовательно, Ат->+0, поскольку Ат<е), приходим к неравенству L > ф^[?0 - 0]. Согласно условию г) теоремы 1.1, — 0]>фЛГ [/0 — 0] = /.
Поэтому L>1. Неравенство в) леммы 1.1 доказано.
4. Осталось доказать, что условие г) леммы 1.1 тоже верно. Для процесса d*, удовлетворяющего условиям а)-в) теоремы 1.1, имеем Ä[/j] = 0; PJ[t] = 0 при всех t е [т^,т^+1), к = 0,,...,N*; = 0 при всех k = ,...,N*, где j = N*-k. Поэтому
L(d*) = <рЛ [/0 - 0] = /. Следовательно, условие г) леммы 1.1 тоже выполняется.
Все условия леммы 1.1 справедливы для процесса d* eD^(t0,y0). Значит, этот процесс оптимальный. Теорема 1.1 доказана.
Заметим, что используемая в теореме функция ф^ (t,y) представляет собой условную функцию цены, что следует из доказанного в и.4 равенства ф1''' [f0 - 0] = I(d*).
Достаточные условия оптимальности позиционного управления
Для формулировки и доказательства достаточных условий оптимальности процесса управления CAT (теорема 1.1) вместо функции цены использовались вспомогательные функции, которые определялись как условные функции цены. Аналогичное построение применяется для достаточных условий оптимальности позиционного управления, т.е. управления с обратной связью. Вводятся вспомогательные функции — условные позиционные управления, из которых затем получается оптимальное управление с обратной связью.
Условным позиционным управлением (т.е. условным управлением с обратной связью)
будем называть замкнутое управление vk(t,y) процессом при условии, что осталось не более к переключений состояния CAT. На области пк своего определения функция vk(t,y) может