Разработка математических моделей для расчёта электромагнитного поля с применением сингулярных интегральных уравнений и их численное исследование

• Автор: Полумисков, Михаил Алексеевич
• Шифр специальности: 05.09.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 198 с. : ил.

Глава 1. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В
РАСЧЕТАХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ (обзор)
1.1. Классификация интегральных уравнений
1.2. Сингулярные интегральные уравнения для расчета электромагнитного поля
1.2.1. Одномерные сингулярные интегральные уравнения
1.2.2. Многомерные сингулярные уравнения
1.3. Состояние теории и методики численной реализации сингулярных интегральных уравнений
1.4. Выводы
Глава 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
2.1. Сингулярные уравнения для расчета плоскопараллельного
и осесимметричного поля
2.2. Сингулярные уравнения для расчета трехмерного поля
2.3. Выводы
Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
3.1. Численная реализация одномерных уравнений на
замкнутых контурах
3.2. Одномерные уравнения на незамкнутом контуре
3.3. Расчет электростатического поля, созданного заряженной прямоугольной пластиной
3.4. Расчет электростатического поля, созданного заряженным двугранным углом

3.5. Выводы
Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ
4.1. Постановка задачи и сингулярные интегральные уравнения на основе поверхностных зарядов и токов для расчёта трёхмерного поля
4.2. Осесимметричные и плоскопараллельные поля идеальных проводников, и сингулярные интегральные уравнения
для их расчёта
4.3. Выводы
Глава 5. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ
5.1. Численная реализация полевых моделей
5.2.Исследование вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений
5.3. Итерационное решение систем линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих сингулярные интегральные уравнения
5.4. Выводы
Заключение
Список литературы
Приложение
Задачи разработки элктротехнического оборудования и оптимизации его параметров неизбежно приводит к необходимости внедрения методов математического моделирования, а также численных методов расчета электромагнитного поля. Развитие вычислительной техники не решает всех проблем математического моделирования. Остается открытым вопрос оценки вычислительной эффективности математических моделей, построенных на основе теории электромагнитного поля и определения наиболее эффективных методов их численной реализации.
Актуальность работы. Одним из основных методов, применяемых для расчёта электромагнитного поля электротехнических устройств, является метод интегральных уравнений (МИУ). Он может использоваться как для расчёта поля в линейной среде, где наиболее эффективны граничные интегральные уравнения (ГИУ), так и в нелинейных средах в форме объёмных или пространственных уравнений.
МИУ наиболее эффективен в тех случаях, когда для расчёта поля используются интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Однако эти уравнения могут быть построены далеко не для всех краевых задач, возникающих при расчёте поля конкретных устройств. В частности, при расчёте поля высоковольтных аппаратов, содержащих электроды в виде тонких оболочек, интегральные уравнения второго рода фредгольмовского типа построить нельзя, и поэтому для такого рода задач используются уравнения первого рода. Такие уравнения некорректны, причём это свойство проявляется тем сильнее, чем выше размерность модели, то есть при расчёте трехмерных полей, что необходимо для адекватного моделирования реальных устройств. Альтернативой уравнениям первого рода являются сингулярные интегральные уравнения (СИУ), которые в отличие от уравнений первого рода корректны, то есть, близки по вычислительным свойствам уравнениям Фредгольма второго рода. Поэтому построение СИУ

пределах каждой группы (/+1)-ю строку из /-й, вместо (2.61) получим однородную систему:
которая аппроксимирует уравнение (2.50). Подчеркнём, что производится вычитание только тех строк, которые определяют потенциал на близлежащих элементах А5,-. Тогда после деления на расстояния между центрами элементов, результат вычитания можно рассматривать как приближённое выражение для касательной составляющей напряжённости поля. Добавляя к
(2.62) систему уравнений (2.61) (при ар=а]р), получим конечномерный аналог уравнения (2.53). Если разбить центральные точки элементов Д5) на группы точек, расположенных как на замкнутых, так и на незамкнутых линиях, то после вычитания получится система, включающая строки как из системы
(2.62) (с нулевыми правыми частями), так и из системы (2.61), определяющие потенциал в отдельных точках поверхности. Таким путём можно получить приближённый аналог любой из систем, построенных выше. Однако следует подчеркнуть, что как между уравнениями первого рода и сингулярными уравнениями, так и между аппроксимирующими их СЛАУ существует глубокое различие. В отношении интегральных уравнений различие состоит в том, что оператор уравнения первого рода является компактным оператором, а интегральный оператор сингулярного уравнения -непрерывным. По этой причине СЛАУ, полученная из уравнения первого рода, может дать только приближённое решение, степень близости которого к точному решению неизвестна, поскольку сходимость отсутствует. В отличие от этого решения СЛАУ, аппроксимирующей сингулярное уравнение, может быть сколь угодно близко к точному решению при увеличении её порядка. Поэтому, в принципе, при решении практических задач сингулярные уравнения использовать предпочтительнее.
(2.62)