Решение задач дифракции методом разложения по неортогональным функциям и обратные задачи распространения волн

• Автор: Елинов, Валерий Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.04.12
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 181 c. : ил

отр.
Введение

ГЛАВА І. РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ ВОЛН МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО НЕОРТОГОНАЛЬНЫМ

ФУНКЦИЯМ

§ I. Дифракция на "мягком" и "жестком" теле

§ 2. Дифракция на теле с условиями сопряжения

на границе

§ 3. Численная реализация прямых задач дифракции

Глава II. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИФРАКЦИИ

§ I. Численное решение задачи визуализации методом разложения по неортогональным

функциям
§ 2. Численное решение обратной задачи дифракция
в высокочастотном приближении
§ 3. Пространственное фокусирование
акустических волн
§ 4. Пространственное фокусирование
упругих волн
§ 5. Численное решение плоской задачи
фокусирования волн
ГЛАВА III, ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН
§ I. Обратная задача для волнового
уравнения
§ 2. Обратная задача для уравнения акустики
Литература
Среди геофизических методов по объему выполняемых работ, их научно-техническому уровню ведущими являются сейсмические методы исследования. Развитие в последние десятилетия сейсмических методов исследования земных недр с целью поиска полезных ископаемых и эксперименты по определению более детального внутреннего строения Земли привели к пересмотру взглядов на используемой сейсмикой теоретический, методологический и технический арсеналы. В теоретической области в настоящее время наиболее актуальным становится решение обратных задач. Все больше в сейсмике происходит уклон в сторону перехода от кинематических обратных задач к динамическим обратным задачам. Вследствие этого происходит интенсивное развитие численных методов решения прямых и обратных динамических задач сейсмики (Алексеев A.C. [5], Михайлен-ко Б.Г. [68], Добринский В.И. [5]), а также исследование вопросов единственности определения физических характеристик сред (Лаврентьев М.М. [59], Алексеев A.C. [3], Романов В.Г. [74], [7б] , [60]).
Наряду с рассмотрением постановки задач для уравнения упругости Ламе интенсивно развиваются исследования постановок задач для модельных с точки зрения сейсмики и представляющих большой интерес для акустики уравнений - волнового и Гельмгольца. Здесь следует отметить работы Алексеева A.C. [8], [7], Бухгейма А.Л.
[23], Запреева A.C. [50J, Лаврентьева М.М. [59], Романова В.Г.
[60], CZcwJoatl [89] , [90], Свсш-ton fr t S£0£6 R. [88], Ürfitrг J. , 9lj, [92], [93] и [98], [9э].
Важность изучения задач для модельных уравнений следует из сложившегося математического аппарата, используемого при интерпретации сейсмических данных. Здесь, начиная от сравнительно хорошо разра-

ботэнного кинематического подхода к решению практических задач сейсмики [37], произошел переход к использованию интерференционных систем РНП, ОГТ и других [зб], где опосредовано используется динамика волн. Следующим шагом в направлении привлечения динамических характеристик волн стало использование формализма волнового уравнения при решении задач продолжения волнового поля: Петра-шень Г.И., Нахамкин С.А. [72] и методика Д-преобразования Тимошина Ю.В. [вз]. Использование аппарата волнового уравнения плодотворно сказывается на решение практических задач, возникающих в сейсморазведке. Поэтому рассмотрение задач для модельных, с точки зрения сейсмики, уравнений имеет важное как теоретическое, так и практическое значение для сейсмических методов исследования.
В диссертации рассматриваются задачи для волнового уравнения, уравнения акустики и уравнения Гельмгольца. Исследование ведется в двух аспектах. Первый - это создание численных алгоритмов решения прямых и обратных задач дифракции для уравнения Гельмгольца. Сюда также следует отнести направление по фокусированию акустических и упругих волн. Ко второму аспекту относится исследование вопросов единственности решения обратных задач по определению физических характеристик среды в двухпозиционной постановке для уравнений акустики и волнового.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе рассматривается численный метод решения прямых задач дифракции акустических волн. Решение краевых задач, соответствующих прямым задачам дифракции, можно рассматривать как математическое моделирование геофизических процессов [во], [бв]. Численное решение этих задач играет существенную роль для правильного понимания и оценки эффективности результатов геофизических наблюдений при планировании экспериментов. Численное ре-

резков диаметра, совпадающего с осью , появились в результате разбиения и лежат строго внутри шара. Через каждую из точек МГ) / Мп проведем плоскость перпендикулярно к оси
^3. Получим /2 сечений шара с границами в виде окружностей. На каждой из окружностей равномерно по углу, начиная отсчет от положительного направления оси X , расположим € точек. Общее количество точек, размещенных на единичной сфере, будет . Для каждой точки разбиение ^ якобиан перехода Т(V) вычисляется по формулам (1.48)—(1.49), а площади элементов поверхности единичной сферы найдутся по формуле
4 5; ' (1.51)
Для дальнейших рассуждений покажем, что направляющие косинусы нормали к единичной сфере в точке } , совпадают с направляющими косинусами нормали к эллипсоиду в точке X . Точки ) и X связаны формулой (1.46). Для единичной сферы | $ | = { направляющие косинусы есть , с = 1,2,3. Для эллипсоида, заданного формулой (1.35), направляющие косинусы есть
2 / А 1/ А
А. / х< .А+1з_) А— Ш±АА а-
^ / I / V/ X- 1/ ^ и ^ I
О0& 31 = Л4 3 • (1.52)
Если в формуле (1.52) проделать выкладки, то получим
✓ X'
Таким образом, показали, что = % а следовательно,
точка единичной сферы с нормалью ( //, ^ [3) отображается в точку эллипсоида с нормалью ( А) . Отметим, что верно
и обратное утверждение. Выведем теперь формулы, по которым,