Теоретическое изучение динамики нелинейных структур и нестандартного переноса в замагниченной плазме

• Автор: Попов, Павел Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.08
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Динамика магнитного поля в пылевой плазме

1.1 Уравнения движения

1.2 Граничная задача

Отрицательно заряженная пыль

Положительно заряженная пыль

2 Стохастический транспорт в сложных гребешковых структурах

2.1 Транспорт в гребешковых структурах

2.2 Разветвлённая гребешковая структура

2.3 «Гирлянды»

2.4 Типичные задачи о контакте
3 Динамика вихревой нити в слоистой среде
3.1 Уравнение движения
3.2 Вихревая нить
3.3 Керн конечного размера
Заключение
Литература

Введение
Рассмотренные в данной диссертации задачи посвящены изучению нестандартных явлений переноса и динамики магнитного поля в комплексных средах: в многокомпонентной плазме, слоистых и гетерогенных средах, имеющих сложные по геометрии включения. Транспортные процессы, а также динамика нелинейных (в том числе, вихревых) структур в указанного рода средах не описывается в рамках привычной классической теории, а потому их теоретическое описание является важной на сегодняшний день задачей, в том числе для адекватного описания лабораторной и космической плазмы.
Наличие нескольких сортов заряженных частиц в плазме может нетривиальным образом изменить характер её поведения. Присутствие третьего, пусть даже не заряженного, типа частиц означает появление сильной зависимости проводимости от магнитного поля [1] (эффект, известный в теории полупроводниковой плазмы под названием магнетосопротпивление). Наличие заряда приводит к необходимости дополнительного учёта взаимного сноса компонентов, при этом взаимная динамика поля и вещества определяется законом вмороженности поля в один из компонентов. В результате процесс проникновения магнитного поля в глубь плазмы описывается системой нелинейных диффузионных уравнений, и это приводит к его существенному изменению и усложнению динамики по сравнению с классическими задачами о скин- или пинч-эффекте.
Рассмотрение процессов стохастического переноса в нестандартных условиях, как, например, перенос частиц в турбулентных потоках, перколяцион-ных системах и других средах с фрактальной геометрией [2-5], в том числе в космической плазме [6], а также, например, в стохастическом магнитном поле [7-9] или при переносе излучения в линиях в корональной плазме [10,11],

приводит к законам, отличным от классических диффузионных (скейлинг для среднего смещения частиц есть (х2) ос 4“, где а ф 1), что вызвано наличием в рассматриваемых системах пространственных или временных нелокально-стей в микроскопическом поведении частиц: например, медленно спадающих по координате или времени корреляций в их движении. Если частицы могут подолгу задерживаться в каких-либо «ловушках»' (среднее время ожидания бесконечно), то это порождает временную нелокальность и замедляет макроскопическое движение (субдиффузия, а < 1). В качестве примера такого рода замедленного переноса можно привести задачу о диффузии частиц в конвективных вихревых ячейках, для описания которой была впервые предложена модель, соответствующая простейшей из рассматриваемых в данной диссертации гребешковых структур. С точки зрения практического приложения именно для физики плазмы, отметим, что одной главных проблем в реализации УТС в установках типа токамак часто называют аномальные потери энергии ввиду переноса частиц и энергии поперёк удерживающего магнитного поля, в связи с чем крайне важна разработка теории диффузии в неравновесных условиях в плазме с развитой сильной турбулентностью с учётом эффектов памяти и нелокальной природы транспортных процессов, и, в частности, корректное описание участков с субдиффузионным режимом переноса (см. обзор [12]).
Что касается математического аппарата, одним из возможных способов описания такой эволюции оказываются линейные интегро-дифференциальные уравнения, представляющие из себя модификации классического уравнения диффузии, записанные терминах производных дробных порядков [13,14]. Рассматриваемые нами гребешковые структуры различных конфигураций представляют собой пример систем, для которых соответствующие макроскопические уравнения могут быть получены строго, а также являются удобным «полигоном» для анализа закономерностей и особенностей (в частности, в постановке начальных и граничных условий) для субдиффузионного транспорта, при том что предлагаемый в нашей работе подход и набор структур позволяют моделировать широкий класс такого рода явлений с показателем 0 а < 1, а также рассчитывать взаимодействие находящихся в контакте между собой участков с различными а.
И наконец, в динамике замагниченной плазмы важную роль играют нели-

Рис. 2.4: Цилиндрическая гирлянда
где Ко — функция Макдональда. Выразим теперь полное число частиц на
Эволюция вдоль оси структуры, как и ранее, определяется только диффузией на хребте, поэтому уравнение для N имеет вид (2.11), где N теперь определяется формулой (2.35).
В асимптотическом пределе г$р/Б <С 1, учитывая что КЦж) ~
Ко (ж) ~ — 1пт, получим эволюционное уравнение в виде
Здесь оператор 1/1пр может быть назван логарифмом временной производной. Обратное преобразование от (2.36) не выписывается и представляется неправомерным, поскольку при р = 1 происходит нефизичная перемена знака в левой части — оперирование же с регуляризованными выражениями более сложного вида, не имеющими такой особенности, например — 1пр —► 1п (1 -|- 1/р), или содержащими сами функции Макдональда, является затруднительным и не наглядным в виду отсутствия аналитического выражения для обратного преобразования Лапласа.
Запишем уравнение для эволюции частиц, получающееся подстановкой
(2.35) в (2.11) и обратным преобразованием Лапласа, в несколько ином виде — внесём все члены, зависящие от времени под знак второй производной в
единицу длины хребта N = по + у27г /гщс1г (ср. (2.2)):

(2.35)
1пр с1х2 р!пр'
_ Л2Д(
(2.36)