Магнитогидродинамические модели плазмы: : Лагранжевы свойства и проблема устойчивости

• Автор: Ильгисонис, Виктор Игоревич
• Шифр специальности: 01.04.08
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 160 с.

Аббревиатуры и обозначения

Магнитная гидродинамика (МГД). Одно- и многожидкостные модели. Моментный подход для МГД описания. Проблема устойчивости, вариационный подход. Структура диссертации, положения, выносимые на защиту.

Глава 1. Инварианты и законы сохранения в гидродинамике

§ 1.1. Лагранжевы координаты

Кинематические свойства жидкости. Лагранжев базис, якобиан, динамика. Общее представление пассивного скаляра, вмороженного вектора, интегрирование уравнения непрерывности. Сохранение топологии магнитного поля при МГД эволюции.

§ 1.2. Понятие инварианта

Примеры простых инвариантов. Производная Ли. 4 типа инвариантов в Ж3. Координатное определение. Представление сносимого тензора. Размножение вмороженных векторов.

§ 1.3. Лагранжиан и законы сохранения

Закон сохранения в гидродинамике. Потенциалы Клебша. Построение жидкого лагранжиана. Теорема Нетер и комментарии. Симметрии Ли-Бэклунда.

§ 1.4. Гамильтонов подход

Каноническое и неканоническое описания. Казимиры. Метод динамически допустимых вариаций.
Глава 2. МГД симметрии
§ 2.1. Симметрии идеальной одножидкостной МГД
Симметрии Ли-Бэклунда 1 порядка для идеальной одножидкостной МГД. Скейлин-ги. Симметрии перемаркировки. Законы сохранения.
§ 2.2. Многокомпонентная плазма
Лагранжиан многокомпонентной плазмы. Двужидкостные модели: холловская
(ХМГД) и электронная (ЭМГД) магнитные гидродинамики, их симметрии и законы сохранения.
§ 2.3. Холловское равновесие плазмы в токамаке
Особенности ХМГД равновесия плазмы в токамаке. Корректный переход к одножидкостной МГД. Аналитический пример.
Глава 3. Анизотропная бесстолкновительная магнитная гидродинамика
§3.1. Общая структура уравнений
Гидродинамические переменные вместо дрейфовых, отсутствие априорного ордерин-га, моментные уравнения, тензоры давления и потоков тепла. Динамика диагональных форм.
§ 3.2. Замыкание цепочки моментных уравнений
Известные способы обрыва. Физически мотивированные предположения: квазидву-меризация, скорректированная гидродинамика ЧГЛ, обобщение на случай произвольной анизотропии.

§ 3.3. Примеры использования моментных уравнений для описания анизотропной плазмы
Шланговая неустойчивость однородной анизотропной плазмы с учетом КЛР ионов. Равновесие анизотропной плазмы с течениями. Предельные переходы (к изотропному случаю, к статике).
Глава 4. Вариационные условия МГД устойчивости
§ 4.1. Устойчивость статических равновесий
Статический энергетический принцип БФКК для линейной устойчивости. Необходимость и достаточность. Проблема нейтральных смещений, их классификация. Нейтральные смещения статического равновесия плазмы, высшие вариации, маркировочные симметрии.
§4.2. Функционал Ляпунова
Проблема построения функционала Ляпунова для одножидкостной МГД. Обзор известных подходов. Достаточное условие МГД устойчивости плазмы с течениями.
§ 4.3. Устойчивость течений анизотропной и многокомпонентной плазмы . 128 Функционал Ляпунова для гидродинамики ЧГЛ. Вариационные условия устойчивости для ХМГД и ЭМГД.
§ 4.4. Особенности динамики линейных систем
Двумерный пример с изолированным равновесием. Дополнительные законы сохранения. Соотношение спектрального и вариационного метода. Возможные МГД аналогии.
Заключение
Краткая характеристика основных результатов. Возможные перспективы. Благодарности.
Литература

Некоторые аббревиатуры и обозначения
МГД - магнитная гидродинамика
хмгд - холловская магнитная гидродинамика
эмгд - электронная магнитная гидродинамика
КЛР - конечный ларморовский радиус
ДКУ - дрейфово-кинетическое уравнение
ЕС-метод - от английского ’’Епе^у-Саэтн”
БФКК - Бернштейн-Фриман-Крускал-Калсруд
ЧГЛ - Чу-Гольдбергер-Лоу
V - любой, для любого
3 - существует
(перевернутые первые буквы английских
=>■ - значок логического следования
€ - принадлежит
{*<} - набор переменных а' (т.е. а1, а2 ...)
® - символ прямого произведения
Л - символ косого произведения
т - поле действительных чисел
Ж" - п-мерное евклидово пространство
А(У)В = (А-У)В + [А X го1В]

Глава 2. МГД симметрии
В данной главе проводится систематический поиск симметрий МГД уравнений в классе симметрий Ли-Бэклунда первого порядка и устанавливаются отвечающие им законы сохранения.
§ 2.1. Симметрии идеальной одножидкостной МГД
Применим общую схему поиска законов сохранения, описанную в параграфе 1-3, к уравнениям одножидкостной МГД (0.1)-(0.5). Для упрощения записей целесообразно перенормировать магнитное поле путем замены Ъ/л/Аж —» В, что избавляет нас от множителя 1/47Г в уравнении (0.2), не затрагивая остальных МГД уравнений (при этом, разумеется, В2/8л- в лагранжиане (1.24) преобразуется в В2/2). Рассматривая действие на лагранжиан (1.24) преобразования
(2.1)
изменяющего физические величины в соответствии с (1.39), получим, что общее условие вариационной симметрии (1.49) для идеальной МГД имеет вид
д,А° + ЯуЛ - (-у - + (У-У)£ - (£-УУ)
+рТ £-Чг} - В-к>1;[£ х В] = 0 . (2.2)
Здесь вместо Л1 мы явно ввели временную и пространственные компоненты Л°, Л. Согласно т. Нетер, если существуют £, А0, Л, для которых выполняется (2.2) при любых о;*, удовлетворяющих (0.2), то система МГД уравнений демонстрирует закон сохранения (1.45) в виде
+ Л°) + дЬг(рУ(£Ч)) (2.3)
+ Ду ^ ^д2 + Рь - ^0 - В(е-В) + л) = о.
Если дополнительно последний член в левой части равен (11у("УЛ°),
то величина (А°+р£У) становится эйлеровым инвариантом (т.е. ~ J с коэффициентом, зависящим лишь от лагранжевых координат).