Фрактальная кристаллография квазикристаллических структур в древесно-графовом представлении на группах подобия

• Автор: Карыгина, Юлия Анатольевна
• Шифр специальности: 01.04.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 148 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
ГЛАВА I. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР
§1 Л. Фракталы и их характеристики
§1.2. Квазикристаллы и замечательные ряды
§1.3. Элементы теории графов
§1.4. Фазовые переходы и метод ренорм-групп
§1.5. Основные понятия теории групп
ГЛАВА И. КОНФИГУРАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ В ОЦЕНКЕ СИММЕТРИИ СТРУКТУРНЫХ ЕДИНИЦ КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МОЗАИК
§2.1. Понятие обобщенной кристаллографии
§2.2. Алфавит и грамматика синтеза квазикристаллических мозаик
§2.3. Метрическая (координационная) энтропия графов
§2.4.Применение энтропийной методики к иерархическому алфавиту квазикристаллических мозаик
§2.5.Непрерывные преобразования гексарешетки в пентасимметричную мозаику
ГЛАВА III. ГРУППА ПОДОБИЯ ФИБОНАЧЧИ-ПЕНРОУЗА. ОБОБЩЕННЫЕ РЯДЫ ФИБОНАЧЧИ
§3.1. Элементы групповой алгебры в матричном представлении
§3.2. Группы подобия в синтезе квазикристаллических мозаик
§3.3. Обобщенные ряды Фибоначчи в квазикристаллических мозаиках. Логические
операционные модули
§3.4. Системы Кантора, Кох, Пенроуза, инвертор Фибоначчи как единый “тримолекулярный” класс

ГЛАВА IV. ФРАКТАЛЬНОСТЬ ПОРОЖДАЮЩИХ ДРЕВЕСНЫХ ГРАФОВ ДЛЯ
КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МОЗАИК
§4.1. Порождающие древесные графы для квазикристаллических систем..
§4.2. Перколяция информодинамических функционалов на порождающих древесных
графах
§4.3. Фрактальные оценки порождающих древесных графов в теоретикоинформационном представлении
§4.4. Морфогенетический сценарий синтеза мозаики Пенроуза, 0-мозаики
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Различные квазикристаллические модели изучаются уже около 18 лет, после открытия группой Шехтмана спиннингованного А186Мп14 сплава, обладающего характерными рефлексами в дифракционной картине, присущими пентасимметрии. Хорошо известно, что классическая кристаллография запрещает пентасимметрию и симметрии более высоких порядков, чем 6. В основе классической кристаллографии лежит группа БОз, на которую наложено требование трансляции Браве. Это весьма жесткое требование на вышеуказанную группу приводит к резкому сужению бесконечномерного вектора характеров на пятимерный вектор группы БОз. Именно отсюда следует возможность существования кристаллических симметрий порядков Ьь Ь2, Ьз, Ь4 и Ь6 поворотных осей.
Квазикристаллические симметрии были также обнаружены в феномене квазистохастической паутины [1], которая получается как следствие распада сепаратрис в некоторые структуры квазикристаллического типа. Подобный “квазикристаллический” распад семейства сепаратрис характерен для нелинейных динамических уравнений с аддитивным 8-возмущением. Авторы [1] показали, что квазикристалличность квазстохастической паутины может быть объяснена через преобразование с подкручиванием.
Видимо, уместно вспомнить и саму модель Пенроуза [2], которая, с одной стороны, была забавной нетривиальной мозаикой, а с другой стороны, возможная модель, иррациональная проекция многомерного пространства.
Достаточно известны высшие мозаики, паркеты, введенные Дюно и Кацем. Все это указывает на то, что квазикристаллические симметрии имеют самостоятельную ценность. Поэтому представляет интерес постановка и решение нижеследующих задач:
1. Дать расширение, обобщение математической кристаллографии на квазикристаллические структуры. Исходным в этом направлении служит обобщение концепции пространственных точечных систем с использованием некоторых энтропийных функционалов на соответствующих звездах, пауках. Высказывается гипотеза, что могут существовать стохастические разупорядоченные правильные точечные системы не эквивалентные метрически, но эквивалентные энтропийно.
называются открытыми подмножествами. Окрестностью точки х<еХ называют любое открытое подмножество, содержащее эту точку.
Множества, являющиеся дополнительными к открытым подмножествам пространства X, называются замкнутыми. Для каждого множества и с: X существует наименьшее замкнутое множество (7, содержащее С/; оно называется замыканием множества и.
Если на множестве X топология задана так, что каждое подмножество из X принадлежит системе Е открытых множеств, то соответствующее пространство называют дискретным.
В топологическом пространстве X можно определить понятие предела последовательности. Точка хеХ является пределом последовательности {*„} в топологии Е, если для всякой окрестности и точки х найдется номер такой
что все элементы последовательности, начиная с хт, лежат в этой окрестности. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Топологические пространства, в которых для любых двух разных точек существуют их окрестности, которые не пересекаются (аксиома отделимости), называются отделимыми или хаусдорфовыми. В хаусдорфовых пространствах каждая сходящаяся последовательность имеет только один предел. Справедливо и обратное утверждение: если каждая сходящаяся последовательность имеет только один предел, то пространство хаусдорфово.
Важный класс топологических пространств составляют метрические пространства. Метрическое пространство - это множество, на котором определена неотрицательная фунция (метрика) р(х,у), имеющая такие свойства:
1. р{х,у)>0, причем р(х,у)=0 тогда и только тогда, когда х=у;
2. р(х,уУ=р(у^);
3. р(х,у)+р(у,г)>р(х,г) (свойство треугольника).
Топология на пространстве X с метрикой р(х,у) задается системой открытых подмножеств, которыми являются конечные и бесконечные объединения открытых шаров К у г = {хеХр(х,у)<г}, у еХ, г еЛ+. Естественным образом в метрическом пространстве определяются такие важные понятия, как фундаментальная последовательность, равномерная сходимость и др. [50,51].