Динамика электрона в квантовых ямах

• Автор: Багманов, Андрей Тамерланович
• Шифр специальности: 01.04.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Глава I. Обзор
1.1 Квантовые уравнения движения
1.2 Волновые шредингеровские решения
1.3 Гауссовы волновые пакеты
1.4 Квантовые возвраты и автокорреляции
1.5 Квантовые информационные технологии
Глава II. Колебания пакета в одномерной яме
2.1 Переход к безразмерному уравнению Шредингера
2.2 Начальный гауссов пакет с конечной скоростью
2.3 Тригонометрический пакет с начальной скоростью
2.4 Сингулярности и распределение энергий
2.5 Обобщение теоремы Эренфеста, периодические граничные условия
Глава III. Внешние воздействия на волновой пакет электрона
3.1 Движение пакета в стационарных полях
3.2 Квантовый осциллятор с двойной ямой
3.3 Классический резонанс для пространственно-ограниченного осциллятора
3.4 Биения при воздействии одиночным импульсом
3.5 Осциллятор с параметрическим изменением частоты
Глава IV. Методы вычислений
4.1 Численное моделирование уравнения Шредингера
4.2 Фурье-спектры решений уравнения Шредингера
4.3 Анализ регулярных решений и хаоса на модели Ресслера
4.4 Алгоритмы вычислений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Актуальность работы. Многие проблемы в физике атомов и молекул, конденсированной среды, а также в нанотехнологиях и информатике сводятся к динамике волновых пакетов электрона в квантовых ямах. Квантовая яма с непроницаемыми стенками, гармонический и нелинейный осцилляторы в пространственно-ограниченной системе, классические резонансы, квантовые системы с заданным распределением потенциала на конечном промежутке, заключенном между непроницаемыми стенками, таят множество сюрпризов и невыясненных свойств. В последние годы отмечается существенный рост исследований и публикаций в этих областях. Они мотивируются логикой развития фундаментальной науки, современными “точными” технологиями, расширяющими возможности научного познания, а также техническими приложениями. Разработка квантовых приборов и компьютеров стоит на повестке дня современной науки и техники. Для решения многих проблем необходимы всесторонние знания о динамике электрона в квантовых ямах. Простейшая квантовая яма, рассматриваемая в квантовой механике - прямоугольная “бесконечноглубокая яма”. В учебниках по квантовой механике традиционно
рассматриваются лишь стационарные решения уравнения Шредингера для частицы в такой яме. Нестационарные исследования при заданных начальных условиях стали выполняться в последние годы. Они связаны с изучением квантовых возвратов пакета в исходное состояние,
основываются на квантовом аналоге теоремы Пуанкаре о возвратах. Другой объект - пространственно-ограниченный гармонический осциллятор. Здесь ветви параболы квадратичного потенциала ограничены стенками непроницаемой ямы. Квантовые системы с двойными ямами и
туннелированием между ними могут быть реализованы на основе современных технологий в полупроводниках, они интенсивно исследуются с целью создания простейших наноустройств. Реальные квантовые системы являются ограниченными по размеру. Квантовая яма конечной глубины может быть исследована при помощи ямы с непроницаемыми стенками.
Такой подход рассматривался в литературе. Ограниченные в пространстве квантовые системы с распределенным потенциалом могут быть исследованы с нулевыми граничными условиями на волновую функцию. Исследования квантовых ям со сложным потенциалом требуют применения компьютерных методов. Постановка задач с начальными условиями является актуальной и совершенно необходимой для последовательного изучения квантового движения.
Цели и задачи исследования
1. В последнее десятилетие уделялось заметное внимание волновым пакетам микрочастиц в простых системах: потенциальных ямах или квантовых бильярдах, гармоническому и нелинейному осцилляторах, хаотизации движения. Следует отметить рост числа публикаций, в которых рассматриваются нестационарные уравнения Шредингера и исследуются их решения в различных ситуациях. Однако, теория движения волновых пакетов микрочастицы, например, электрона все еще разработана недостаточно и односторонне.
2. Необходимо исследовать динамические свойства при разных начальных и граничных условиях, стационарных и импульсных внешних воздействиях, основываясь как на решениях уравнения Шредингера для волновых функций, так и для полевых переменных: плотности и скорости вероятностной жидкости, квантового потенциала. Для изучения структурных свойств пакетов при их эволюции в квантовых системах необходимо исследовать пространственно-временные реализации и их Фурье-спектры, энтропию Шеннона, автокорреляционные функции. Знания о локальных значениях необходимо дополнить исследованиями усредненных по пространству динамических переменных как функций времени, провести сравнение с классическими аналогами этих величин. Только комплексный подход, включающий методы нелинейной динамики и вычислительной математики, может дать более полные представления о квантовых волновых закономерностях, а также о способах управления

Постановка задачи и формальное аналитическое решение. Волновая функция электрона подчиняется уравнению Шредингера
. &¥ I

1 д'. + и
Ч/, (2.2.1)
I 2 9(Г2
где и = и(£) - внешний потенциал - в рассматриваемом здесь случае является стационарным. При этом упрощающем ограничении уравнение (2.2.1) допускает разделение переменных56. Пусть
Ч>{т,С) = Т{т)-г{С). (2.2.2)
Подставляя выражение для волновой функции в уравнение (2.2.1), имеем -1-г(т)-г{с)=^т{т)-г"^)-и^)-Т(т)-г{с), (2.2.3)
откуда, деля почленно на произведение T(т)^Z(£), получим
г(г) 1 г"(с) . .
-/—= Щ-ии) = -Е, (2.2.4)
г (г) 2 г(с)
где (-£) - постоянная разделения. Решением уравнения для Т(г) с точностью до постоянного множителя, будет функция
Т = еЧЕг; (2.2.5)
для 2 (^) получается уравнение второго порядка
г" + 2-_Е-и(£)]-2 = 0. (2.2.6)
Для получения двух его линейно независимых решений необходимо знать конкретный вид потенциала £/((Г)- Предположим, что функции Zl(£), Z2(g) - два таких решения. В этом случае 2 ■= А-2^£) + В -22(£).
Если потенциальная яма достаточно глубока, можно задать некоторую ее фиксированную ширину 2Ь и считать, что С, е Ь. Тогда нулевые условия для волновой функции на стенках ямы переходят в уравнения для 2:
А-2Л-Ь) + В-2Л-Ь) = 0,
4 ’ (2.2.7)
л-г, (+/,) +я-г., (+/,) = о.