Применение перколяционных методов, теории фракталов и дробных производных к исследованию термодинамики и кинетики фазообразования

• Автор: Кочкарова, Паризат Ахматовна
• Шифр специальности: 01.04.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Черкесск
• Количество страниц: 109 с. : ил.

РЕФЕРАТ
Объектом исследования являются конденсированные среды, в которых происходят фазовые переходы 1-го и 2-го рода. Работа посвящена исследованию термодинамики и кинетики фазовых переходов путем применения теории фракталов, теории перколяции и аппарата дробных производных. Для этой цели, главным образом, применяются перколяционные методы и свойства перколяционных фракталов. Для перколирующей сети образованной атомами кристалла, испытывающего фазовый переход, с помощью результатов термодинамической и статистической теории фазовых переходов, а также, на основе теоремы «суперунивесальности» Александера-Орбаха-Милованова определена температурная зависимость фрактальной размерности перколирующей сети. Показано, что широко используемый метод факторизации одномерного уравнения теплопроводности, путем перехода к дробным (полуцелым) производным, не может быть прямо перенесен на трехмерное уравнение теплопроводности. Как оказывается, подобная факторизация приводит к появлению в уравнении спиновых переменных, наподобие уравнения Дирака. Дана физическая интерпретация появлению спиновых переменных в задачах теплопроводности и диффузии.
Диссертация изложена на 109 стр. машинописного текста, содержит 11 иллюстраций, 1 табл., 100 ссылок на использованную литературу.
Соискатель КОЧКАРОВА П.А.

^ Глава 1. Концепция фрактала, дробной производной и их применение в
физике
1.1. Краткие сведения о возникновении и эволюции понятия фрактала
1.2. Основные области применения фрактала в физике
1.3. Теория перколяции и перколяционные фракталы
1.4. Суперуниверсальность в теории перколяции
1.5. Дробное исчисление: возникновение и область ее первоначальных
приложений
1.6. Взаимосвязь между понятием фрактала и дробной производной
1.7. Задачи и парадоксы классической теории теплопроводности и
диффузии
1.8. Выводы
Глава 2. Приложение перколяционных методов к некоторым задачам
теории фазовых переходов
2.1. Основные понятия и методы статистической теории фазовых
переходов
2.2. Учет корреляции в статистической модели фазового перехода
типа порядок-беспорядок в сплаве типа Р - латуни
2.3. Об эффективном координационном числе и его температурной
зависимости
2.4. Температурная зависимость мощности бесконечного кластера,
возникающего при упорядочении атомов в сплаве типа Р-латуни
2.5. Упорядочение атомов как задача узлов теории перколяции
2.6. Кооперативный эффект Яна-Теллера в шпинелях как
геометрический фазовый переход
2.7. Перколяционная теория контактного плавления бинарных

эвтектических систем
2.8. Интерпретация интенсивности рассеяния рентгеновских лучей на упорядочивающемся кристалле вблизи точки Кюри на основе теории перколяции
2.9. Выводы
Глава 3. Применение фрактальной размерности и дробных производных к описанию равновесных и неравновесных свойств конденсированной среды
3.1. Температурная зависимость фрактальной размерности перколяционного фрактала вблизи точки Кюри
3.2. Флуктуации величины фрактальной размерности
3.3. Зависимость фрактальной размерности от перколяционной переменной
3.4. Понятие о факторизации дифференциальных уравнений
3.5. Факторизация трехмерного уравнения диффузии
3.6. Диффузионно-волновое уравнение в дробных производных
3.7. Выводы
Заключение
Литература

зависимости перколяционной переменной х и мощности бесконечного кластера Р(х) от термодинамических переменных с,Т, /7. Перколяционная переменная х - это доля (концентрация) целых связей (в задаче связей) или доля занятых узлов (в задаче узлов) [85, 100]. Заметим, что, если известна
зависимость X — х(с, Т, 77), то известна и зависимость от термодинамических переменных любой заданной функции от х. Но, как видно будет из дальнейшего, по ходу решения этих задач, будут получены и другие важные результаты.
Физическую задачу об упорядочении А- и В-атомов в сплаве АСВХ_С мы сведем к задаче связей теории перколяции на ОЦК решетке. Для этого, каждой ближайшей паре А- и В-атомов сопоставим «целую связь», а каждой ближайшей паре одноименных атомов - «оборванную связь». Ниже мы уточним это наше предварительное соглашение. При такой постановке, задача об упорядочении атомов твердого раствора ниже Тс становится задачей связей теории перколяции на ОЦК решетке. Отметим, что введенные выше понятия естественным образом возникают в рамках статистической теории фазовых переходов учитывающей ближний порядок (см. п.п. 2.2).
Обратимся к вычислениям. В работе [37] нами использовались обозначения отличные от обозначений, введенных в предшествующих пунктах. В связи с этим, установим связь между теми и другими обозначениями. Вместо параметра корреляции 8, мы использовали в [37] параметр ближнего порядка С, определяемый соотношением
Рав^Рм~Рм~Рбв~° (2.32)
Воспользовавшись бинарными вероятностями (2.18), формулами (2.8) и

соотношением Рл=сА + 2^ , определяющим смысл параметра дальнего