Нелинейность Толмена в теории капиллярных волн

• Автор: Долгих, Антон Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 105 с. : ил.

1 Обзор литературы

2 Размерная зависимость поверхностной энергии кластеров с

плотной упаковкой

3 Капиллярные волны с нелинейностью Толмена

3.1. Капиллярные волны в отсутствии нелинейности Толмена

3.2. Природа нелинейности Толмена

3.3. Капиллярные волны бесконечно малой амплитуды с нелинейностью Толмена

3.4. Капиллярные волны конечной амплитуды с учетом нелинейностью Толмена

3.4.1. Капиллярные волны конечной амплитуды в отсутствии нелинейности Толмена (<5 = 0)

3.4.2. Асимптотическое решение для предельного случая

ед «:
3.4.3. Численное решение и его анализ
4 Микроскопическая теория капиллярных волн с нелинейностью Толмена
4.1. Статистический подход к описанию капиллярных волн
на поверхности раздела жидкость-пар
4.2. Расчет толщины переходного слоя с учетом нелинейности Толмена в приближении капиллярных волн малой амплитуды

4.3. Экспериментальное измерение толщины переходного слоя жидкость-пар
4.4. Квантование капиллярных волн как задача квантовой гидродинамики
А Усреднение гамильтониана рипплон-фононного
взаимодействия
В Иллюстрации

Актуальность темы. Изучение структуры, фазовых переходов и свойств поверхностей является важной и интересной задачей, поскольку поверхности, будучи двумерными системами, обладают свойствами, отсутствующими в трехмерном мире. Динамической и энергетической характеристикой поверхности является поверхностное натяжение. Эта величина обуславливает протекание многих физических явлений: смачивания, коагуляции, катализа, нуклеации, капиллярной конденсации и многих других. Само поверхностное натяжение зависит от различных факторов, например, температуры, потенциала межмолекулярного взаимодействия, радиуса кривизны поверхности. И если первые два фактора являются хорошо изученными и кажутся достаточно естественными, то зависимость от кривизны далеко не самоочевидна. Явным образом эта зависимость была получена почти шестьдесят лет назад, но несмотря на это привлекает к себе внимание исследователей и в настоящее время. Это объясняется тем, что учет размерной зависимости поверхностного натяжения становится необходим при решении различных практических и фундаментальных задач. Например, в теории нуклеации главным параметром является критический размер зародыша, который может возникать в системе. Размеры этого зародыша определяются величиной поверхностной энергии, которая при малых размерах зародыша становится достаточно резкой функцией его кривизны. Учет размерного фактора важен и при исследовании тепловых флуктуаций на поверхности жидкости. В многочисленных экспериментальных и теоретических работах было показано, что эти флуктуации хорошо описываются суперпозицией капиллярных волн и дают значительный вклад в толщину переходного слоя жидкость-пар. Исследование свойств и строения межфазной границы жидкость-пар является одной из центральных задач физики конден-

Поправки к волновому профилю (3.66) полностью совпадают с поправками, полученными для волн бесконечно малой амплитуды. Однако выражения (3.61), (3.70) для скорости волны содержат ненулевые члены, линейные по й. Это различие возникло из-за пренебрежения слагаемым (%>)2 в уравнении Бернулли в (3.21). Это слагаемое было опущено в предположении малости амплитуды волны. Тем не менее, можно показать, что это выражение в точности пропорционально е26 и дает соответствующее линейное по 6 слагаемое в формуле для скорости волны.
3.4.3. Численное решение и его анализ
Для численного решения поставленной задачи перейдем к конечноразностной записи уравнений (3.56)-(3.57). С этой целью возьмем 77 точек вI на интервале 0 е [0, л] и будем рассматривать у,- = у(0,) как независимые переменные. Все производные в (3.42)-(3.50) заменяем пятиточечными конечно-разностными формулами. После дискретизации уравнения (3.42)-(3.50) переходят в систему 77 нелинейных алгебраических уравнений для N переменных >у, г = 1,2...,N. Однако имеется еще одна неизвестная величина - скорость волны с. Следовательно, для того, чтобы система была разрешима, необходимо добавить еще одно уравнение. В качестве этого уравнения используем уравнение (3.57). В итоге получаем систему 77+1 нелинейных алгебраических уравнений для 77+ 1 неизвестных у;, / = 1,2, ...,77 и с.
Решение этой системы производилось с помощью метода доверительных интервалов, основанного на алгоритме Ньютона, и метода сопряженных градиентов [64].
Выбор начального приближения для волн с различными значениями 6 выполнялся на основе итерационного алгоритма, аналогичного использовавшемуся в работе [56]: в качестве начального приближения для волны с наименьшим ненулевым 6 выбиралось решение [58], затем ис-