Статистический подход к реконструкции динамических систем по зашумленным данным

• Автор: Мухин, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 124 с. : ил.

I Статистический подход к реконструкции динамических систем (ДС)
1.1 Введение
1.2 Частные случаи
Нулевой шум измерений
Существенный шум измерений
1.3 Модификация Байесова подхода
1.4 Восстановление значений параметров известной ДС по зашумленному
временному ряду (ВР): сравнение модифицированного и “классического” подходов
1.5 Классификация режимов поведения известной ДС по коротким зашумленным ВР
1.6 Заключение
II Реконструкция слабонестационарных динамических систем по хаотическим временным рядам
2.1 Введение
2.2 Описание модели наблюдаемой динамики
Общий вид реконструируемой неавтономной системы
Параметризация оператора эволюции
2.3 Пример реконструкции: прогноз поведения ДС по хаотическому незашумленному ВР
Описание системы
Алгоритм реконструкции
О выборе числа нейронов
Результаты прогноза
Выводы из полученных результатов
2.4 Реконструкция ДС по зашумленному слабонестационарному ВР
Вводные замечания
Метод анализа функции апостериорной плотности вероятности
(АПВ)
Примеры реконструкции: прогноз поведения ДС по хаотическим
зашумленным ВР
2.5 Заключительные замечания
III Восстановление профилей атмосферных характеристик по данным дистанционного зондирования
3.1 Введение
3.2 Статистический подход в приложении к задаче восстановления атмосферных профилей
Построение функции правдоподобия
Параметризация профиля
3.3 Восстановление профиля атмосферного озона по данным миллиметровых измерений
Описание прямой задачи
Модельная задача
Решение модельной задачи: сравнение кусочно-однородной и нейронносетевой параметризаций профиля
Восстановление профиля озона по данным, измеренным в реальном эксперименте
3.4 Заключение
Заключение
Приложение
Литература
Разработке методов решения обратных задач реконструкции динамических систем (ДС) на основе порожденных ими наблюдаемых процессов (временных рядов) посвящено в последние тридцать лет большое количество работ (см., например, [1-3] и цитируемую там литературу). Актуальность такого подхода к реконструкции связана с тем, что он не требует наличия полной и детальной априорной информации о процессах, протекающих в системе, т. к. не включает в себя процедуру построения моделей из первых принципов (уравнений движения среды или отдельных частиц, уравнений для силовых полей, переноса излучения, химической кинетики, тепло и массопереноса и пр.). Математическая модель исследуемой ДС при этом строится путем прямого анализа наблюдаемых данных, вообще говоря, без каких-либо допущений о природе изучаемого явления. Как правило, каждый из предложенных к настоящему времени методов такой реконструкции, включает в себя два основных шага: (1) реконструкция области фазового пространства, в которой система эволюционирует, и (2) построение модели, воспроизводящей поведение системы в этой области фазового пространства.
Фундаментальной основой методов реализации первого шага являются доказанные Такенсом теоремы [4], из которых следует, что непрерывная бесконечная и стационарная зависимость от времени всего лишь одной (наблюдаемой) динамической переменной системы является достаточной для восстановления топологической структуры области фазового пространства, соответствующей наблюдаемой эволюции системы. В реальности протяженность наблюдаемого временного ряда (ВР) всегда ограничена, что приводит к ошибке при реконструкции реализующегося в фазовом пространстве системы аттрактора, и, как следствие, неточно-

и имеет в условиях мезосферы характерный временной масштаб в одни сутки или менее. Концентрации остальных реагентов - участников реакций - существенно превышают концентрации перечисленных пяти специй и считаются постоянными. Периодическое внешнее воздействие обусловлено суточными вариациями освещенности, связанными с восходами и заходами солнца и приводящими к периодической модуляции скоростей фотодиссоциации молекул озона (одной из динамических переменных системы (2.6)), кислорода, концентрация которых считается неизменной, и паров воды, чья относительная концентрация г1 является одним из управляющих параметров системы. Такая модуляция вошла в систему (2.6) в виде периодической функции s(t), которая достигает максимальное значение 5max = 1 в середине дня, а минимальное smim — О в середине ночи 2. Вследствие указанной неавтономности размерность фазового пространства системы (2.6) равна шести.
Динамической переменной, временной ряд которой “наблюдался”, являлась переменная Х (концентрация атомарного кислорода [О]), хотя данный выбор принципиального значения не имеет. На рис. 2.1а показана бифуркационная диаграмма, по вертикальной оси которой отложена концентрация атомарного кислорода в момент восхода солнца, а по горизонтальной - величина относительной концентрации водяного пара г, которая, как отмечалось, является управляющим параметром системы. Как можно видеть, система обладает широким набором динамических режимов, реализация которых зависит от значения управляющего параметра. Соответствие какой-либо величине г нескольких значений [О] означает реализацию режима с периодом в соответствующее значение суток. “Замазанные” области на бифуркационной диаграмме (БД) отвечают интервалам значений параметра, в которых система демонстрирует хаотическую динамику.
■‘Всюду ниже приводится в традиционных для фотохимии атмосферы единицах ppmv (particles per million in volume), определяемых как число молекул водяного пара на миллион молекул воздуха.
2Подробное обсуждение системы (2.G) (значения коэффициентов ai - ai6, диапазоны изменения контрольного параметра г, вид функции s{t)) и ее нелинейно-динамических свойств) см. в работах [88,89].
II. Реконструкция слабонестационарных динамических систем по хаотическим временным рядам