Сравнительный анализ сложной динамики дифференциальных уравнений и отображений на примере систем с импульсным воздействием

• Автор: Тюрюкина, Людмила Владимировна
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 181 с. : ил

Содержание
Введение
Глава 1 Сложная динамика и критические явления в осцилляторе
Дуффинга с импульсным воздействием
1.1 От дифференциального уравнения к двумерному обратимому отображению
1.2 Одномерное необратимое отображение
1.3 От одномерного «отображения косинуса» к двумерному отображению Икеды
1.4 Критические явления на границе хаоса в одномерном «отображении косинуса»
1.4.1 Переход к хаосу по Фейгенбауму и скейлинг в окрестности фейгенбаумовской критической точки
1.4.2 Нефейгенбаумовский переход к хаосу и скейлинг в окрестности трикритической точки
1.4.3 Бинарное дерево сверхустойчивых орбит Мак-Кея-Ван-Зейтца и множество трикритических точек
1.5 Критические явления в двумерном отображении Икеды
1.5.1 Трикритическая динамика в отображении Икеды
1.5.2 Псевдотрикритические точки в отображении Икеды
Выводы
Глава 2 Синхронизация короткими импульсами.
Изохронный случай
2.1 Основные модели: осциллятор Ван-дер-Поля под периодическим импульсным воздействием, двумерное
и одномерное отображения
2.2 Картина синхронизации в одномерном отображении
2.3 Динамика двумерного отображения. Метаморфозы языков

синхронизации при переходе к одномерному отображению
2.4 Дифференциальная система - осциллятор Ван-дер-Поля под
периодическим импульсным воздействием
Выводы
Г лава 3 Синхронизация короткими импульсами.
Неизохронный случай
3.1 Основные модели: осциллятор Ван-дер-Поля-Дуффинга с периодическим импульсным воздействием, двумерное и одномерное отображения
3.2 Динамика моделей при небольших значениях параметра фазовой нелинейности
3.3 Особенности динамики моделей в случае больших значений параметра фазовой нелинейности
3.4 Синхронизация в системе с неустойчивым предельным циклом под действием периодической последовательности 5-импульсов
3.5 Синхронизация в системе с жестким возбуждением
Выводы
Заключение
Литература
Список публикаций по теме диссертации
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность задачи. При описании сложных колебательных режимов и хаоса в конкретных радиофизических системах возникает проблема выбора класса динамической системы, которая будет моделью исходной. Это может быть система дифференциальных уравнений, двумерное обратимое отображение, одномерное необратимое отображение. Успехи концепции универсальности в нелинейной динамике отчасти заслонили эту проблему, поскольку исследователи привыкли, что реальные системы и широкий спектр математических моделей демонстрируют такие же закономерности, что и простейшие формальные модели типа логистического отображения. Действительно картина перехода к хаосу через удвоения периода по Фейгенбауму [1-10], все закономерности подобия (скейлинга) на пороге хаоса будут одинаковы во всех моделях из трех названных типов. Так если в двумерном отображении наблюдается переход к хаосу через удвоения периода по Фейгенбауму, то и одномерное отображение демонстрирует бесконечный каскад удвоений периода. Причем точки бифуркаций и критические точки будут близки друг другу в обоих отображениях, а значения констант, характеризующий сходимость, будут точно равны друг другу. Этот факт, являющийся следствием универсальности Фейгенбаума, строго обоснован методом ренормгруп-пы и подтвержден многочисленными исследованиями конкретных примеров [11-21]. Однако, как оказалось, не все феномены одномерных отображений, допускающие ренормгрупповое описание и относящиеся к удвоениям периода, столь просто переносятся от одномерных отображений на двумерные и далее на потоки и наоборот [21-29]. Эти особенности поведения выявляются при двухпараметрическом анализе. Например, для одномерных отображений линия перехода к хаосу может обрывается в обнаруженных Чангом с соавторами так называемых трикритических точках, окрестность которых устроена универсальным образом и характеризуется двухпараметрическим скейлин-

Рис. 1.8 Плоскость параметров А, В отображения Икеды (1.28). На рисунке показаны элементарные «ячейки», образованные линиями (1.39, 1.40). Каждая из этих «ячеек» соответствует одному периоду в одномерном «отображении косинуса» (1.38).