Теория управления состояниями квадрупольных ядер с целью выполнения квантовых вычислений

• Автор: Шауро, Виталий Павлович
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 114 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Квантовые вычисления на квадрупольных ядрах методом ЯМР

1.1. Кубиты, кудиты и квантовые логические операторы

1.2. Проблемы физической реализации квантовых вычислений

1.3. Гамильтониан и управление состоянием квадрупольного ядра

Глава 2. Методы реализации квантовых вентилей с помощью импульсов простой формы

2.1. Реализация вентилей с помощью селективных импульсов

2.2. Селективные по квадрупольному расщеплению импульсы

2.3. Квантовый алгоритм поиска порядка подстановки на двух кудитах

Глава 3. Управление кудитами с d = 3, 4, 5, 6 с помощью неселективных импульсов

3.1. Построение эффективного гамильтониана селективного поворота
3.2. Импульсные последовательности для селективного поворота
3.3. Уменьшение ошибок с помощью составных импульсов
3.4. Результаты моделирования
Глава 4. Оптимизированные импульсы сложной формы
4.1. Однокутритовые вентили и оптимальная по времени реализация
4.2. Моделирование реализации вентиля SUM на кутритах с помощью оптимизированных импульсов
4.3. Управление состоянием квадрупольного ядра посредством сверхтонкого взаимодействия с электроном
Заключение
Литература
Приложение
Приложение

Введение
В последнее время возрос интерес к управлению квантовыми системами, в частности, с целью реализации квантовых вычислений (обработки квантовой информации) [1, 2]. Одним из первых идею осуществления вычислений на квантовых системах высказал Ричард Фейнман в 1982 г. Фейнман заметил, что моделирование квантово-механических систем является экспоненциально сложной задачей для классических компьютеров. Если же перенести процесс вычислений на подобную же квантовую систему, то задача становится полиномиально сложной, а значит, существует эффективный алгоритм ее решения. Однако создание квантовых вычислительных машин, в которых используются квантовые операции, оказалось очень сложным. К тому же многие не были уверены, что квантовые эффекты позволят ускорить вычисления. Развитие данного направления шло крайне медленно. Так продолжалось вплоть до 1994 года, когда Питер Шор описал квантовый алгоритм разложения числа на простые множители за полиномиальное время [3]. Считается, что эффективного классического алгоритма факторизации не существует, хотя это и не доказано. Начиная с этого момента, число публикаций, посвященных квантовым вычислениям, растет лавинообразно.
Развитие идеи квантовых компьютеров во многом повторяло путь развития классических вычислительных машин. Первые электронные вычислительные машины в 30-40-х годах XX века строились на основе различных реализаций привычной для человека десятичной системы счисления и были предназначены, как правило, для решения определенного класса вычислительных задач. Но приемлемого варианта десятичного элемента для их построения найдено так и не было. В 1946 г. Джоном фон Нейманом была представлена первая универсальная ЭВМ, в основе которой лежала двоичная логика. Двоичная система счисления оказалась гораздо экономичнее и проще в аппаратном исполнении для того времени. Таким образом, проблемы построения электронной элементной базы изначально определили путь

развития вычислительной техники. Это влияние оказывалось решающим на всех этапах ее дальнейшего развития и не всегда положительным. Примечательным исключением служит опыт создания компьютеров "Сетунь" (1959 г.) и "Сетунь 70" (1970 г.) в Московском университете им. М. В. Ломоносова, убедительно подтвердивший практические преимущества недвоичной (в данном случае троичной) цифровой техники.
По аналогии с классическими компьютерами первые теоретические модели квантовых компьютеров также были основаны на двоичных логических элементах - кубитах (qubit - quantum binary digit). К настоящему времени достигнуто значительное понимание в работе и принципах построения компьютеров на кубитах, и дальнейшее развитие данного направления в основном ограничено техническими возможностями экспериментальной реализации вычислений на многокубитовых квантовых системах [4]. Гораздо меньше внимания в литературе уделяется многоуровневым ((7-уровневым) квантовым элементам - кудитам (qudit - quantum d-ary digit) [5-14], как со стороны теории квантовых вычислений, так и физической реализации вычислений на кудитах. В отличие от классических компьютеров, где изменение системы счисления требует кардинальной перестройки элементной базы, методы управления двухуровневыми и многоуровневыми квантовыми системами, как правило, не имеют принципиальных различий. Доказано [6, 11], что с помощью универсального набора одно- и двухкудитовых элементарных логических операторов (вентилей) [6, 7, 10-12, 14] можно выполнить любой алгоритм. К числу элементарных вентилей на кудитах относятся селективный поворот, квантовое преобразование Фурье (КПФ), вентиль контролируемого сдвига фазы, вентиль SUM. Тем не менее, для кудитов получено очень мало конкретных квантовых схем, доведенных до элементарных операций и допускающих реализацию экспериментальными средствами. В связи с этим интересной является задача построения недвоичного квантового компьютера, использующего преимущества выполнения вычислений на кудитах.

R” (*) R]r8 {к) (x) F(x), (2.6)
являющейся обобщением однокутритового варианта из работы [51]. Последовательность (2.6) обеспечивает повороты не только на разрешенных, но и на запрещенных переходах |5) —»|3) и 16) —> 18) в выражении (2.4).
Таким образом, для получения вентиля SUM необходимо приложить четыре слабых селективных импульса, осуществляющих повороты (2.6). Резонансные частоты импульсов, возбуждающих необходимые переходы (2.4), приведены на рис. 2.3, а длительность импульсов определяется выражением (1.42), где в=п и Q = С12=у2В] (меняется состояние второго кутрита).
Зависимость ошибки от амплитуды РЧ поля, полученная в результате моделирования, приведена на рис.2.4. Ошибка в данном случае оценивалась по формуле (1.32), то есть принималась во внимание лишь амплитудная ошибка матричных элементом без учета их фазы. При расчетах в качестве относительной единицы измерения частот взята величина 0.01 q2. Параметры гамильтониана (1.36) выбраны таким образом, чтобы не было вырождения уровней энергии в спектре (рис. 2.3).
Из представленного графика видно, что ошибка, как и в случае одного кутрита, в среднем растет при увеличении амплитуды РЧ поля, что связанно с нерезонансным возбуждением различных переходов. К тому же наблюдается ярко выраженные осцилляции ошибки, которая падает до величины — 10 ! в первом минимуме (рис. 2.4 - справа). Данный результат обусловлен особенностью действия РЧ поля на ближайшие нерезонансные переходы, частоты которых отличаются от резонансной частоты импульса на величину J из-за спин-спинового взаимодействия. При вращении резонансного перехода второго спина с частотой Q2 / -Jl, эти нерезонансные состояния будут
вращаться с частотой 2 + J2 / 4, тем самым, вызывая ошибку. Однако,
если значение амплитуды таково, что при резонансном повороте спина на угол п, нерезонансные состояния прокрутятся на угол кратный 2л, то ошибка