Нелинейная эволюция структур в средах без дисперсии и диффузия частиц

• Автор: Мошков, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 117 с. : ил.

1 Эволюция периодических структур и статистически однородная векторная турбулентность Вюргерса

1.1 Векторное уравнение Бюргерса и его асимптотические решения

1.1.1 Решение Хопфа-Коула, принцип максимума и линейная стадия эволюции

1.1.2 Эволюция основных типов одномерных возмущений

1.1.3 Локальная автомодельность потенциала и векторного поля скорости

1.2 Эволюция периодических структур и взаимодействие плоских волн в двумерном уравнении Бюргерса
1.2.1 Эволюция периодических структур при бесконечных числах Рейнольдса-асимптотическое поведение
1.2.2 Эволюция периодических структур и взаимодействие плоских волн-переходпые процессы

1.2.3 Линейная стадия эволюции периодической структуры

1.3 Эволюция анизотропной турбулентности Бюргерса

1.3.1 Начальная стадия развития поля

1.3.2 Изотропизация турбулентности в случае ближних корреляций
1.3.3 Линейная стадия эволюции поля и сохранение анизотропии при дальних корреляциях
1.4 Эволюция многомерных локализованных анизотропных возмущений
1.4.1 Развитие простых возмущений
1.4.2 Эволюция локализованных анизотропных возмущений со сложной внутренней структурой
1.4.3 Линейная стадия эволюции поля
1.5 Основные результаты главы
2 Диффузия пассивной примеси в одномерной турбулентности Бюргерса
2.1 Постановка задачи и базовые уравнения
2.1.1 Основные подходы к описанию движения частицы в поле жидкости
2.1.2 Точные решения для динамики частиц в линейном поле скорости
2.2 Движение примеси в пилообразном поле
2.2.1 Динамика отдельных частиц в течении с пилообразным начальным профилем

2.2.2 Распределение плотности и массы частиц в случае сильного трения в пилообразном поле жидкости
2.3 Основные результаты главы
3 Динамика системы самогравитирующего газа для плоских возмущений: точные решения и приближение слипания
3.1 Постановка задачи и основные подходы
3.1.1 Общие сведения по формообразованию крупномасштабной структуры Вселенной
3.1.2 Базовые уравнения движения частиц, приближение Зельдовича и
® модель слипания
3.1.3 Система из двух гравитационно-взаимодействующих частиц
3.2 Взаимодействие ансамбля частиц и эволюция кластера
3.2.1 Распределение плотности частиц в самогравитирующем кластере
3.2.2 Структура кластера в точном решении и модели слипания
3.2.3 Взаимодействие двух массивных кластеров
3.3 Основные результаты главы
Основные результаты диссертации
Приложение. Статистические свойства случайных Гауссовых полей и использованные численные алгоритмы
Статистические свойства максимумов неоднородных случайных Гауссовых полей
Использованные при моделировании численные алгоритмы
Ф Преобразование Лежандра
Численное моделирование случайных многомерных Гауссовых полей
Список литературы

В зависимости от соотношения нелинейности и дисперсии в физике нелинейных волн можно условно выделить два класса задач, которые принципиально отличаются как по эффектам, так и по методам исследования. В средах с сильной дисперсией взаимодействует конечное число волн, в результате взаимодействия они сохраняют свою структуру, а д ля их описания можно использовать метод медленно меняющихся амплитуд. В средах с малой дисперсией характерным является когерентное взаимодействие большого числа временных или пространственных гармоник, и в результате образуются сильно нелинейные структуры. Задача теоретического и экспериментального исследования эволюции и взаимодействия сильно нелинейных волновых полей и структур составляет важное направление в физике нелинейных волн. При случайных начальных условиях можно говорить о сильной турбулентности, когда эволюция случайного поля происходит как взаимодействие устойчивых сильно нелинейных структур. При этом наряду с построением статистических моделей нестационарных турбулентных течений часто необходимо исследовать диффузию пассивной примеси в таких течениях. В таких средах поле скорости, как правило, имеет разрывы производной, а для поля примеси происходит кластеризация - примесь собирается в локализованные сгустки. В данной диссертации развиваются аналитические и численные методы анализа волн и структур в средах с нелинейностью гидродинамического типа и исследуются эффекты кластеризации полей пассивной примеси или плотности вещества.
Базовыми уравнениями для таких сред являются нелинейные уравнения в частных производных типа уравнения Римана, Бюргерса и уравнения К~Р2 (Кагбаг-Рагай-2Ьапй). Уравнение Бюргерса имеет два слагаемых одно из которых отвечает за инерционную нелинейность, а второе связано с диффузией. Уравнение Бюргерса связано с задачей о диффузии частиц и с другой стороны. Известно, что в пределе бесконечно малой вязкости, решение уравнения Бюргерса подобно эволюции газа слипающихся частиц. Несмотря на простоту постановки такой классической задачи механики, для нее относительно недавно были получены весьма нетривиальные результаты [1].
Уравнение нелинейной диффузии было впервые представлено Дж. Бюргерсом как модель гидродинамической турбулентности [2,3]. Действительно, оно имеет много общего с известным уравнением Навье-Стокса: тот же тип нелинейности, общие инварианты, одинаковая частотная зависимость для энергетических потерь, и т.д , описывая два основных эффекта, присущих любой турбулентности: нелинейное перераспределение энергии по спектру и действие вязкости в области мелких масштабов [4]. Различия между- уравнением Бюргерса и уравнением Навье - Стокса являются столь же интересными как и их подобие [5]. Это тем более справедливо и для многомерного уравнения Бюргерса.
Таким образом, на линейной стадии эволюции поле имеет универсальную структуру (1.135) со случайной амплитудой В. При этом отношение энергий случайного и регулярного поля определяется величиной относительных флуктуаций В
ЕМ/т = 4/«-В»2 ~ МЩ,)* exp (Rcl). (1.141)
Эти флуктуации на линейной стадии развития в ехр (Re%) раз больше таких же флуктуаций на нелинейной стадии, (см. (1.129)). Тем не менее, при ехр[—Яед]
мы имеем относительно малый разброс В, и с увеличением отношения (Bff/L^f)d распределение В плавно стремится к нормальному. Такое поведение схоже со свойствами однородного поля на поздней стадии развития [17].
1.5 Основные результаты главы
Рассмотрено общее и асимптотическое решения многомерного уравнения Бюргерса. Описан широко используемый в работе принцип максимума и законы изменения поля на линейной стадии эволюции, когда вклад нелинейности становится малым по сравнению с диссипацией. Приведена динамика основных типов одномерных возмущений. Показано появление с течением времени локальной изотропии поля в окрестности максимумов начального потенциала, определяющих структуру поля.
Изучено взаимодействие плоских волн в уравнении Бюргерса, причем как на начальной, так и на линейной стадии эволюции. Показано, что при периодической модуляции синусоидального сигнала происходит генерации крупномасштабной компоненты. Также показано сохранение глобальной анизотропии поля, которое имеет универсальную ячеистую структуру.
Проанализирована эволюция анизотропного турбулентного поля. Сначала изучается начальная стадия развития, когда происходит локальная нзотропизация и установление универсальной структуры по мелкомасштабной компоненте. Затем показывается происходящая глобальная нзотропизация поля в случае ближних корреляций начального потенциала. Найдена вероятность распределения случайного векторного поля. Также рассмотрена линейная стадия эволюции поля и сохранение анизотропии в случае дальних корреляций начального потенциала.
Исследована эволюция случайных многомаеттабных возмущений в многомерной турбулентности Бюргерса. В пределе исчезающе малой вязкости нелинейные эффекты приводят к возникновению локальной автомодельности полей скорости и потенциала, когда случайное возмущение разбивается на ячейки с универсальным поведением поля в каждой их них. Показано, что если масштаб сложной внутренней структуры существенно меньше масштаба локализации, то из случайного сложного локализованного возмущения с нулевым средним генерируется практически детерминированная когеретнтная структура. Получено, что на поздней стадии мы имеем автомодельную эволюцию среднего поля и поля дисперсии.