Неавтономные системы со сложной внутренней динамикой : модель Ханта, двухмодовая система, модель Лоренца

• Автор: Айдарова, Юлия Сериковна
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 105 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА МОДЕЛИ ХАНТА -ИСКУССТВЕННО СКОНСТРУИРОВАННОЙ ПОТОКОВОЙ СИСТЕМЫ С ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ АТТРАКТОРОМ
1.1. Введение
1.2. Качественное описание модели Ханта
1.3. Формальное описание динамики модели Ханта
1.4. Аттрактор модели Ханта и его свойства
1.5. Символическая динамика и периодические орбиты
1.6. Выводы
ГЛАВА 2. НЕАВТОНОМНАЯ СИСТЕМА С ДВУХМОДОВОЙ ДИНАМИКОЙ
2.1. Автономная система с двухмодовой динамикой
2.2. Картина синхронизации в системе с двухмодовой динамикой, находящейся под импульсным воздействием
2.3. Выводы
ГЛАВА 3. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА В СИСТЕМЕ ЛОРЕНЦА, НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
3.1. Динамика автономной системы Лоренца. Краткий обзор
3.2. Синхронизация в системе Лоренца, находящейся под гармоническим воздействием
3.3. Аналитическое исследование областей сложной динамики системы Лоренца под гармоническим воздействием
3.4. Синхронизация в системе Лоренца, находящейся под импульсным воздействием
3.5. Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы
Неавтономные нелинейные системы представляют собой важный класс динамических систем [1-11]. Так, в радиофизике и нелинейной динамике большое внимание уделяется проблеме синхронизации нелинейных систем внешним воздействием [1-3,9-11]. В отличие от традиционных воззрений теории колебаний, в современной трактовке под синхронизацией понимают не только возникновение в системе режима той же периодичности, как у воздействующего на нее сигнала, но и ситуации, когда внутренняя динамика системы или внешнее воздействие может быть, например, квазипериодическим или хаотическим [10,11]. В связи с этим кругом проблем возникает задача исследования, классификации и сопоставления ситуаций, отвечающих различным комбинациям типов собственной динамики и типов внешнего воздействия.
Явления, имеющие место в динамике неавтономных систем имеют как фундаментальное, так и прикладное значение. Известны многочисленные приложения синхронизации периодических колебаний в радиотехнике (например, стабилизация частоты и фазы мощного источника излучения воздействием маломощного генератора, стабильность которого обеспечить гораздо проще), в механике (управление функционированием вибромеханизмов). В последнее время активно обсуждается использование хаотической синхронизации (или синхронного хаотического отклика) в системах скрытой коммуникации, для управления хаотической динамикой, в биомедицинском аспекте (управление ритмами организмов, динамические болезни).
Обычно неавтономную динамику исследуют применительно к моделям, для которых в автономном режиме имеет место уже изученный в деталях тип поведения, например, периодические колебания, удвоения периода,
классический хаос и т.д. В то же время даже для случая квазипериодической динамики, как недавно выяснилось, задача оказывается весьма сложной, многоплановой и не исследованной до конца [12,13].
В этом плане интересно и важно рассмотреть случаи, когда автономная система демонстрирует различные типы нетривиальной сложной динамики.
Содержанием настоящей работы является анализ нескольких модельных систем с периодическим внешним воздействием, присутствие которого существенным образом влияет на динамические процессы и по существу определяет их характер.
В качестве первого примера рассматривается предложенная в работе Ханта [14] модельная система, в которой неавтономная природа обеспечивает возникновение структурно устойчивого хаотического аттрактора, представляющего собой гиперболический аттрактор типа Плыкина в сечении Пуанкаре. Работа Ханта примечательна тем, что дает первый пример системы с непрерывным временем, реализующий гиперболический аттрактор. Неавтономный характер динамики этой модели состоит в наличии трех характерных стадий динамической эволюции за период изменения коэффициентов. В настоящей диссертации проводится анализ модели Ханта с привлечением обширного арсенала вычислительных методов нелинейной динамики. Хотя реализация модели Ханта проблематична из-за ее формальной сложности и искусственности, материал настоящего исследования, как предполагается, послужит основой для работы в направлении создания генераторов структурно устойчивого хаоса с перспективой их приложения в радиофизических системах.
Вторым примером служит система, которая в автономном режиме демонстрирует два типа колебаний: быстрые и медленные. Задачи о
неавтономной динамике подобных систем важны как с общеколебательной точки зрения, так и с точки зрения возможных приложений, например, в

1.6. Выводы
В данной главе рассмотрена модельная система Ханга с непрерывным временем, обладающей странным аттрактором гиперболического типа. Предпринято достаточно подробное численное исследование динамики этой системы, включая построение фазовых портретов, анализ реализаций, вычисление показателей Ляпунова и размерностей, спектра Фурье. Представлены результаты проверки в численных расчетах условий теоремы, гарантирующей гиперболическую природу аттрактора, что позволило устранить допущенную в работе Ханта неточность. Полученный материал может использоваться в учебном процессе в качестве примера динамики на гиперболическом странном аттракторе, и как иллюстрация соответствующей общей математической теории. Выполнение данного исследования способствовало накоплению опыта работы с гиперболическими аттракторами, что становится актуальным по мере появления примеров физически реализуемых систем, имеющих аттракторы подобного типа. Одним из интересных вопросов для дальнейших исследований остается поиск или конструирование реальных систем с аттракторами типа Плыкина, поскольку модель Ханта сама по себе вряд ли допускает реализацию в силу сложности и громоздкости соотношений, положенных в ее основу.