Выбор переменных и структуры уравнений при динамическом моделировании по хаотическим временным рядам : Неавтономные системы

• Автор: Смирнов, Дмитрий Алексеевич
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 177 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ВЫБОР ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.1. Введение
1.2. Описание методики
1.3. Применение методики при реконструкции динамических систем
по их «чистым» и зашумленным реализациям
1.3.1. Реконструкция разностных уравнений
1.3.2. Реконструкция ОДУ
1.4. Применение методики при моделировании реальной нелинейной электрической цепи
1.5. Выводы
2. ВЫБОР СТРУКТУРЫ МОДЕЛИ - НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ПОД СИЛОВЫМ ГАРМОНИЧЕСКИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
2.1. Введение
2.2. Трудности стандартного подхода
2.3. Модификация стандартного подхода и особенности ее использования
2.4. Примеры применения методики при реконструкции уравнений осцилляторов
2.5. Реконструкция уравнений осцилляторов при наличии шума
2.6. Моделирование реальной неавтономной системы
2.7. Выводы
3. ВЫБОР СТРУКТУРЫ МОДЕЛИ - НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБАХ РЕГУЛЯРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
3.1. Введение
3.2. Реконструкция уравнений при произвольном способе внесения гармонического воздействия
3.3. Общий способ учета гармонического воздействия
3.4. Моделирование неавтономных систем при произвольном регулярном воздействии
3.4.1. Описание методики
3.4.2. Примеры применения
3.4.3. Выводы
3.5. Оптимизация структуры глобальной модели
3.5.1. Использование переходных процессов для моделирования
3.5.2. Процедура оптимизации структуры модели
3.5.3. Выводы
3.6. Выводы
4. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕАВТОНОМНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО
КОНТУРА С ПОЛУПРОВОДНИКОВЫМ ДИОДОМ
4.1. Введение
4.2. Описание объекта моделирования
4.3. Построение модельных ОДУ
4.4. Отображение неизохронного осциллятора с диссипативным возбуждением как модель контура с диодом при низких частотах воздействия
4.5. Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ. КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ
«МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ»
ЛИТЕРАТУРА
БЛАГОДАРНОСТИ
Введение
Возможность получения математической модели из общих законов природы путем их конкретизации применительно к исследуемому объекту1 существует на практике далеко не всегда. Более типичны ситуации, когда протекающие процессы обусловлены нечетко очерченной совокупностью явлений различной природы или общие законы (аналогичные законам Ньютона в механике) для исследуемой области не установлены, а основным источником информации об объекте являются данные эксперимента. В связи с этим возникает актуальная задача построения эмпирической модели, простейшим примером которой является аппроксимация множества точек на плоскости (х,у) функциональной зависимостью у -fix) [2]. Так как результаты наблюдений различных процессов, как правило, представляются временными рядами — последовательностями значений наблюдаемых величин, измеренных в дискретные моменты времени, - то эта задача выливается в моделирование по временным рядам2. В диссертации данная проблема рассматривается в приложении к объектам радиофизики, но она значима также для метеорологии [3,4], сейсмографии [5], области финансов [6,7], медицины и физиологии [8-10], астрофизики [11], лазерной физики [12] и т.д.
Причем речь идет о моделировании сложного (в основном хаотического) поведения. До 1960-х гг. эта задача решалась с помощью статистических моделей [13], поскольку сложное поведение ассоциировалось только с очень большим числом степеней свободы, детерминированное описание которых не представлялось реальным. Использовались в основном линейные уравнения, поскольку для них уже были получены многие аналитические результаты. А
1 Этот вид моделей - асимптотические по классификации H.H. Моисеева [1] - в англоязычной литературе часто называют моделями «из первых принципов».
2 Далее будет использоваться термин «реконструкция уравнений по временным рядам», хотя, строго говоря, он применим лишь в том случае, когда исходный ряд представляет собой решение некоторой системы уравнений. Для реальных систем этот термин не вполне подходит, но его часто применяют и при анализе экспериментальных данных. Он стал общепринятым и широко используется, см., например, [17,18].

Предложенная методика применялась для тестирования зависимостей x{tM) от x(tt) и для наблюдаемой и и для наблюдаемой v (см. рис. 1 .За). Графи-ки £тях (S) (рис. 1.36) говорят о наличии однозначности и непрерывности, но в первом случае £тях «плавно» стремится к нулю при уменьшении Ö, а во втором - график имеет «излом» при малом 6. Излом отражает наличие участка большой крутизны в зависимости х(?ж) от x(ti) (рисЛ .За, область jc(f.)»l). Графики же £(S) (рис.1.36, пунктир) практически совпадают для обеих переменных.
Преимущества одной из переменных для глобального моделирования еще более очевидны, если наблюдаемые ряды зашумлены. Пусть теперь наблюдаемая равна rj(ti ) = ui+£i и rj(ti) = v. + , где - последовательность независимых случайных величин, равномерно распределенных на отрезке [-0.005, 0.005] (примерно 1% от уровня сигнала), соответственно. При этом по ряду {uj } еще удается получить эффективную глобальную модель с полиномом 2-го порядка (ошибка прогноза на один шаг вперед сравнительно невелика - 3%), а ряд {у; +<£, } оказался вовсе непригодным для моделирования. Об этом предупреждают и графики £тзх (Ö) (рис. 1.3в): для и график лишь немного «поднялся» по сравнению с рис. 1.36, а для v график говорит о неоднозначности.
Второй пример. Показательно также сопоставить результаты оценки переменных и реконструкции модели вида х(/,+|) = /(*(/,.)) по реализации Tj(t,) = ul отображения (1.1) при различных способах формирования наблюдаемого ряда - в случаях: 1) x(tf) = p(t,), 2) x(tt) = rj(t2j), 3) x(tt) — ?j(t3j). T.e. когда берется каждое значение, через одно и через два, что соответствует первой, второй и третьей итерациям логистического отображения. С ростом номера итерации графики x(tM) = f(x(ti)) имеют все более сложный для аппроксимации вид (рис. 1.4а), что отражается во все большей крутизне зависимости £тах(0) (рис. 1.46).
Как и следовало ожидать, легче всего оказалось построить глобальную модель в первом случае. Во-первых, потому, что для аппроксимации требуется полином всего 2-го порядка (во втором случае - полином 4-го порядка, в третьем — полином 8-го порядка). В первом случае, следовательно, нужно оценивать