Аналитическое исследование дискретных хаотических процессов на основе операторного подхода

• Автор: Ремизов, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.03, 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 128 с. : ил.

ГЛАВА 1 Метод производящих функций в решении спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса одномерных хаотических отображений

1.1 Определение оператора Перрона-Фробениуса и его основные свойства

1.2 Постановка спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса. Общие свойства собственных функций оператора
1.3 Определение производящей функции собственных функций оператора. Свойства производящей функции

1.4 Производящая функция для оператора Перрона-Фробениуса сдвигов Бернулли.

Решение спектральной задачи

1.5 Производящая функция для операторов Перрона-Фробениуса отображений «палатка» и «Ы-образное». Решение спектральной задачи
ГЛАВА 2 Решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса пилообразных кусочно-линейных отображений с произвольным числом линейных ветвей
2.2 Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса пилообразного отображения с нечетным числом линейных ветвей
2.3 Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса инвертированного пилообразного отображения с четным числом ветвей монотонности
2.4 Спектральные свойства оператора Перрона-Фробениуса инвертированного пилообразного отображения с нечетным числом ветвей монотонности
ГЛАВА 3 Решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса кусочно-линейных отображений с произвольным числом и чередованием линейных ветвей
3.1 Класс кусочно-линейных отображений с произвольным чередованием наклона полных ветвей монотонности на отрезке[-1,1], для которых модуль тангенса угла
наклона всех ветвей одинаков. Решение спектральной задачи
3.2 Исследование особенностей решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса: возникновение кратных собственных чисел и нуль-пространства
3.3 Связь между собственными функциями исходного и инвертированного кусочнолинейных отображений с полными ветвями монотонности и одинаковым модулем тангенса угла наклона
3.4 Автокорреляционные функции орбит для кусочно-линейных отображений с произвольным числом и чередованием полных линейных ветвей

3.5 Корреляционные функции наблюдаемых в форме степенных функций от реализаций кусочно-линейных отображений с произвольным числом и чередованием полных
линейных ветвей
ГЛАВА 4 Спектральная задача для отображения Реньи
4.1 Решение спектральной задачи для фи-отображения методом производящих функций
4.2 Свойства собственных чисел и собственных функций ОФП для фи-отображения
4.3 Трёхступенчатое инвариантное распределение
4.4 Множество точек бифуркаций параметра бета - отображения
4.5 Инвариантное распределение для отображения Реньи
4.6 Корреляционные функции наблюдаемых в форме функций от реализаций отображения Реньи, допускающих разложение по собственным функциям модифицированного оператора Перрона-Фробениуса
Заключение
Список литературы
ПРИЛОЖЕНИЕ «А»
ПРИЛОЖЕНИЕ «Б»
ПРИЛОЖЕНИЕ «В»
ПРИЛОЖЕНИЕ «Г»
Актуальность работы. Простейшими моделями хаотических процессов, как известно, являются динамические системы с дискретным временем - одномерные отображения, описываемые разностными уравнениями вида
xn+i = <р(хпЛ), п = 0,1,2 х„ е (a,b), (В1)
где <р - нелинейная или кусочно-линейная итеративная функция, сохраняющая меру в области определения отображения; Я - параметр, определяющий особенности динамики отображения [1-9]. Со временем они не утратили своего и научного, и методологического значения для нелинейной науки. Собственно, первые серьезные шаги на пути ее изучения и начинаются со сценария М. Фейгенбаума перехода к хаосу [10-12], обнаруженного впервые именно для одномерных отображении. Второй важный концептуальный пример связан с развивавшейся коллективом авторов во главе с И.Р. Пригожиным фундаментальной концепцией относительно определяющей роли хаоса в возникновении "стрелы времени" (необратимости физических процессов при наличии обратимого характера уравнений движения) с привлечением в качестве базового объекта теории простейшего диадического отображения (сдвига Бернулли) [13]. Интересен, далее, тот факт, что парадигма детерминированного хаоса заняла свою нишу в общей теории относительности, когда была открыта хаотическая осцилляция компонент метрического тензора согласно одномерному отображению Гаусса в однородной анизотропной космологической модели типа IX по Бианки вблизи особенности (Mixmaster Universe -"Перемешанный мир") [14-19].
Конкретные применения моделей "малоразмерной нелинейной динамики" для анализа нерегулярных процессов продолжаются и по сей день, причем в разнообразных отраслях знания - в физике (от механики до космологии), в информационных технологиях, экономике, финансовой математике и т.д. [1-9, 20-22], но научная значимость подобных «простых» моделей заключается, прежде всего, в возможности (в определенных случаях) точного аналитического вычисления основных траекторных, вероятностных и спектральных характеристик изучаемого хаотического процесса. Исследование же численными методами более сложных

при п = 2к, к = 0,1,2
при и = 2£+1, к = 0,1,2... А -г.
(2.4.2)
(2.4.3)
Таким образом, хотя абсолютные значения для обеих последовательностей собственных чисел и совпадают, кроме единичного числа, но собственные числа в случае нечётных п различаются знаком. Поэтому, в отличие от не инвертированного пилообразного отображения, в данном случае отсутствует вырождение по собственным числам.
Уравнение для четной по переменной / части производящей функции имеет вид:
^ЛХА = ~
у-1 У р / І ЄУСП д: + 2/ +1 >0 +Уя / J ЄУЄП ^ 2/+1—эс )
1=0 < 8 , /=0 К £
(2.4.4)
Проделав то же для нечетной производящей функции, получаем для неё несколько иное функциональное уравнение:
£±-і
(Х + 2/ + 1 ) 8~‘ 2/ +1-х
,0 ,0
1 8 V /=0 ч 8 ;
(2.4.5)
Чётную и нечётную производящие функции будем искать в виде (1.3.8) и (1.3.9).
Поставив (1.3.8) в условие нормировки и в (2.4.4), получим два уравнения для Я, (/) - (1.3.13) и:
уД 1 к
і.., , і
8 і=о 8 і=о
(2.4.6)
или, после выполнения суммирования:

Я'М“Уі7 (2.4.7)
Л Є А
Нетрудно убедиться подстановкой, что решением системы уравнений (1.3.13) и (2.4.7) будет функция, определяемая соотношением (1.3.18), что соответствует ПРФ вида (1.3.22), что дает в качестве собственных функций