Резонансная динамика солитонов в модели синус-Гордона с притягивающими примесями

• Автор: Гумеров, Азамат Маратович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 178 с.

Оглавление
Введение

1 Литературный обзор

1.1 Уравнение синус-Гордона и его применение в теоретической физике

1.1.1 Уравнение синус-Гордона. Интегрируемая модель

1.1.2 Модификации уравнения синус-Гордона, близкие к интегрируемым моделям

1.1.3 Энергия известных решений уравнения синус-Гордона

1.2 Аналитические методы решения модифицированного уравнения синус-Гордона

1.2.1 Метод коллективных координат

1.2.2 Пример использования метода с одной коллективной переменной

1.2.3 Пример использования метода с двумя коллективными переменными . .

1.3 Численные методы решения модифицированного уравнения синус-Гордона
1.3.1 Конечно-разностные методы решения на примере линейного волнового
уравнения
1.3.2 Конечно-разностные схемы для нелинейного уравнения Клейна-Гордона
1.3.3 Другие методы численного решения УСГ
1.4 Выводы по главе
2 Методика численного решения модифицированного уравнения синус-Гордона .
2.1 Численная схема
2.1.1 Случай одномерного уравнения
2.1.2 Случай многомерного уравнения
2.1.3 Исследование устойчивости явной схемы
2.2 Методы расчета характеристик системы, структуры кинка и локализованных волн
2.2.1 Вычисление динамических характеристик кинка
2.2.2 Частотный анализ временных зависимостей
2.3 Выбор параметров численной схемы и расчет погрешности

2.3.1 Выбор шага по координате
2.3.2 Выбор шага по времени. Анализ устойчивости схемы
2.3.3 Поглощение волн на краях сетки
2.4 Способы аппроксимации дельта-функции при численных расчетах
2.5 Оценка производительности численных схем и их вычислительная оптимизация
2.6 Выводы по главе
3 Резонансная инерционная динамика солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона
3.1 Динамика кинка в модели с одиночной примесью
3.1.1 Рассеяние кинка на одиночной точечной примеси
3.1.2 Рассеяние кинка на одиночной протяженной примеси
3.1.3 Динамика локализованных в области примеси нелинейных волн
3.1.4 Вычисление частоты колебательной моды в линейном приближении
3.1.5 Влияние формы примеси на динамику солитонов
3.2 Динамика кинка в модели с двумя примесями
3.2.1 Динамика рассеяния кинка в случае точечных примесей
3.2.2 Динамика рассеяния кинка в случае протяженных примесей
3.2.3 Генерация трехкинковых мультисолитонных состояний. Тритоны
3.2.4 Возбуждение и эволюция связанных локализованных примесных мод
(квадронов) в случае точечных примесей
3.2.5 Возбуждение и эволюция связанных локализованных примесных мод
(квадронов) в случае протяженных примесей
3.3 Выводы по главе
4 Влияние внешней силы и затухания на резонансную динамику солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона
4.1 Динамика кинка при наличии одиночной примеси
4.1.1 Анализ задачи методом коллективных координат
4.1.2 Влияние затухания на динамику кинков
4.1.3 Колебания локализованных волн с учетом затухания и внешней силы .
4.2 Резонансная динамика кинка при наличии двойной примеси
4.2.1 Влияние затухания и внешней силы на динамику рассеяния кинка на
двойной примеси
4.2.2 Генерация четырехкинковых мультисолитонных состояний в модели с
двойной примесью

4.3 Выводы по главе
Заключение
Список сокращений
Авторский список публикаций
Список использованных источников

ттпч_ л. ~и(хі + 2Дж,гп) + 2и(хі + Аа;,і„) - 21/(хі - Ах, £„) + [}{хі - 2Дж,£„) и (Хі.Їп]« 2Д^ ’
тт(т,„ ^ С/(жі + 2Дж,іп)-4(7(хі + Дж,ї7І) + 6{7(хі,іп)-4г7(ж<-Да;,іп) ,
и (ХЬ1п) ~ д^4 Г
и(хі — 2Ах, £п)
+ Д^ '
Рассмотрим вначале «явную» схему решения уравнения (1.63) (наиболее простую в реализации) [120, 121, 123]. Для ее построения воспользуемся шаблоном типа «крест», представленным на рис. 1.3а, который определяет взаимосвязь пяти узлов сетки. В соответствии с данным шаблоном конечно-разностные аппроксимации производных на сетке можно представить в виде (с учетом (1.66)):
эи _ щ.і - и;_! дЦ _ Щ+
дх 2Ах ’ <Э£ 2Д<
д2и _ и?+1 - 211У + ир^ д2и _ и?+1 - 2Щ + и,п~
дх2 Ах2 ’ ді2 Ді
Тогда конечно-разностный аналог уравнения (1.63) запишется в виде:
(1.69)
(1.70)
ЦП+1 - 2цп + цп-1 Цп+1-ЩП+и
АР Ах
где предполагается, что все узлы на (п— 1)-м и п-м временных слоях известны, а необходимо найти неизвестный узел С7гп+1. Таким образом, вычисление всего (п + 1)-го временного слоя можно выполнить явно из рекуррентного соотношения (1.71). Причем в [120, 121, 123] показано, что существуют определенные ограничения для сеточных параметров:
ё*1’ (172)
которые необходимо соблюдать при численном решении по данной схеме. Выражение (1.72) называется также «условием устойчивости» численной схемы (1.71), а такая численная схема «условно-устойчивой».
Для решения уравнения можно использовать и «неявную» схему решения, для которой производные аппроксимируются на семиточечном шаблоне [120, 121], приведенном на рис. 1.36. При этом, временная производная аппроксимируется как и прежде, а для представления пространственной производной используются узлы (п + 1)-го и (п — 1)-го временных слоев: