Фрактальная топология и дробная кинетика в проблемах теории турбулентности

• Автор: Милованов, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 258 с. : ил.

Введение
Глава 1: Топологические методы фрактальной геометрии ■
1.1. Важнейшие определения
1.2. Основная теорема об универсальности
1.3. Другие топологические теоремы
Глава 2: Турбулентность, протекание и дробная кинетика
2.1. Странные процессы переноса
2.2. Дробное кинетическое уравнение
2.3. Феномен самоорганизованной критичности
2.4. Коэффициенты переноса в гамильтоновом приближении
2.5. Проводимость фрактальных сетей
Глава 3: Степенные хвосты, странные ускорения и
термодинамика корреляций
3.1. Странные ускорения в турбулентных средах
3.2. Нелинейное кинетическое уравнение
3.3. Энтропия Тсаллиса: функциональные свойства
3.4. Энтропия Тсаллиса: каноническое распределение
Глава 4: Фрактальные мозаики, цветные шумы и
спектры флуктуаций
4.1. Спектральные свойства турбулентности
4.2. Фрактальная структура турбулентного токового слоя
4.3. Фрактонные возбуждения и дробное волновое уравнение
Заключение
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Развитие современной физики (как теоретической, так и эксперимен- • тальной) во многом опирается на представление о множествах, обладающих нецелой размерностью. Понятие дробной (фрактальной) размерности было впервые сформулировано в работах Хаусдорфа [1] и Бези-ковича [2], которым предшествовали исследования выдающихся математиков конца XIX - начала XX века, таких как Кантор, Вейерштрасс, Пеано, Кох, Серпинский. Основы топологической теории размерности были заложены замечательным советским математиком П. С. Урысо-ном, трагически погибшим в возрасте 26 лет в 1924 году. Обобщенная (дробная) размерность играет ключевую роль в абстрактной математике, в частности, в теории чисел [3-5].
Термин фрактальная размерность стал частью физического лексикона около 25 лет назад, начиная с фундаментальных работ Мандельброта [6-8] по геометрии случайных процессов. Бесспорной заслугой Мандельброта стала демонстрация необычайно широкого круга явлений, приводящих к формированию фрактальных структур, а также оригинальное определение фрактала как множества, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности [8]. Классическими примерами фракталов являются изре-

занные береговые линиии [6], случайные временные ряды [7], русла рек [8], траектории броуновских частиц [8], и др.
В настоящее время понятие фрактала воспринимается как парадигма современной теоретической физики. Всплеск работ по фракталам затронул такие основополагающие направления как неравновесная термодинамика [9,10] и космология [11,12], теория динамического хаоса [9,13,14] и гидродинамической турбулентности [9,15,16], исследование фазовых переходов [17,18] и транспортных явлений [19-21]. Богатый спектр приложений фрактальной геометрии в теоретической и экспериментальной физике обсуждается в сборнике [22], а также в монографиях [23-25]. Наиболее полное изложение математических основ современной фрактальной геометрии можно найти в монографии Федера [26].
Важный класс фрактальных объектов образуют множества, описывающие геометрию протекания, или перколяции. Под перколяцией в дальнейшем понимается случайное распространение жидкости через среду, причем абстрактные термины “жидкость” и “среда” могут быть интерпретированы в соответствии с физическим смыслом задачи [26]. Теории перколяции посвящена обширная литература: Отметим монографии [26-29], а также обзоры [30-33]. Перколяция является критическим процессом [32], т.е. подразумевает существование некоторого порога, ниже которого распространение жидкости ограничено конечной областью среды. Вблизи порога протекание происходит по фрак-

силу диффеоморфизма F ~ Id> понятие канторова множества приобретает фундаментальное значение при построении произвольных фрак-

тальных структур. Необходимо, однако, сделать некоторое предостережение. Дело в том, что задание Хаусдорфовой размерности l/п не определяет канторово множество однозначным образом. (Этим, в частности, объясняется тот факт, что представление пространства Ed‘ ~ 1в/2 х ... [c?s]... х /g/2 в виде Idi ~ / х ... [df]... х / формально не содержит индекс связности в.) В действительности существует бесконечное число канторовых множеств на /, обладающих заданной Хаусдорфовой фрактальной размерностью, но различающихся степенью лакунарности [26]. Различная лакунарность сомножителей, входящих в разложение Id> ~ limni-jco Il/$m X... [rm]... х Il/Sn, приводит к тому, что тополо-
♦ гическое произведение Id> ~ IX... [df]... х / может обладать различной связностью при фиксированной Хаусдорфовой размерности df. Данное обстоятельство показывает, что Хаусдорфова размерность df и индекс связности в являются в общем случае независимыми характеристиками фрактального объекта. Лакунарность канторовых множеств в топологическом произведении Id> ~ НгПт-юо J1/3 х ... [гт]... х Il!Sm должна быть надлежащим образом учтена при построении фрактальных структур, обладающих наперед заданным индексом связности в.
Определение фрактального многообразия