Развитие оптики гауссовых пучков : новые семейства структурно устойчивых решений параболического уравнения

• Автор: Абрамочкин, Евгений Григорьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 195 с. : ил.

Глава I. Интегральные преобразования структурно

устойчивых решений параболического уравнения

§ 1. Специальные функции и параболическое уравнение

§ 2 Астигматическое преобразование, связывающее

функции Эрмита-Гаусса и функции Лагерра-Гаусса

§3. Инвариантность к астигматизму и

преобразование Лоренца

Глава II. Функции Эрмита-Лагерра-Гаусса

и их свойства

§ 1. Определение и простейшие свойства функций

Эрмита-Лагерра-Гаусса

§2. Конечные суммы, функции Вигнера и вращения в!3
§ 3. Интегральные преобразования функций
Эрмита-Лагерра-Гаусса
Глава III. Спиральные пучки света — новый класс структурно устойчивых решений параболического уравнения
§ 1. Постановка задачи о световых полях, вращающихся
при распространении
§ 2. Целые аналитические функции, порядок роста
и структурный вид вращающихся световых полей
§ 3. Основные уравнения и параметры решений
§ 4. Спиральные пучки и их квантово-механические аналоги
Глава IV. Спиральные пучки
с заданным распределением интенсивности
§ 1. Спиральные пучки в форме плоских кривых
§ 2. Замкнутые плоские кривые и условие квантования.
Свойства спиральных пучков

§ 3. Кодировочные функции и производные пучки
§4. Энергия, угловой момент и другие интегральные
инварианты
§ 5. Задача фокусировки лазерного излучения
в окружность и другие замкнутые кривые
Заключение
Список литературы
Актуальность темы
Параболическое уравнение в теории распространения волн и в оптике было впервые получено М.А. Леонтовичем и В.А. Фоком в 1946 г. Оно широко используется в лазерной оптике и теории резонаторов, поскольку является хорошим приближением для описания дифракции воли, в частности, для световых пучков, генерируемых лазерами, а также для собственных мод открытых резонаторов и линзовых волноводов.
Важным семейством световых полей, эволюция которых описывается параболическим уравнением, является семейство гауссовых пучков. Распределение интенсивности таких пучков имеет автомодельный характер, т.е. сохраняет свою структуру при распространении с точностью до масштаба в любом сечении.
Традиционные гауссовы пучки характерны тем, что распределение их амплитуды жестко задано и описывается определенными функциями, а именно, функциями Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса Оба семейства функций получаются при решении параболического уравнения в рамках декартовой и полярной систем координат соответственно и обладают различной симметрией. Характерно, что многие математические результаты, связанные с классическими ортогональными полиномами Эрмита и Лагерра, применяются в теории гауссовых пучков для описания свойств лазерных пучков и собственных мод открытых резонаторов.
С другой стороны, с развитием теоретической и экспериментальной базы оптики лазеров существенно расширились требования не только

ФУНКЦИИ ЭРМИТА-ЛАГЕРРА-ГАУССА И ИХ СВОЙСТВА
Подобная независимость правой части равенства (2.1.6) от а позволяет обобщить первоначальное определение функций Эрмита-Ла-герра-Гаусса (2.1.1) следующим образом:
где 2 — произвольное комплексное число, отличное от нуля. Равенство 2 = ега связывает функции %,т(х, у | а) с более общими функциями
п,т{*£) 2Л %)■
Таким образом, первоначально чисто вещественный параметр а (поскольку, как было отмечено в предыдущей главе, в оптических экспериментах а — это угол между осями симметрии астигматической системы, состоящей из двух цилиндрических линз, и осями симметрии моды Эрмита-Гаусса) допускает «комплексификацию», что приводит к более общему семейству функций Эрмита-Лагерра-Гаусса
{% ,т(х,у,г), п,т = 0,1,...},
которое продолжает оставаться ортогональным базисом пространства Ь2{Ж2). Это позволяет считать параметр а комплексным изначально, что помогает упростить многие полученные далее формулы за счет использования тригонометрических функций.
На рис. 11 показаны распределения интенсивности и фазы функции %^(х, у, г) при некоторых значениях комплексного параметра г.
Производящая функция позволяет найти и формулу Родрига (т. е. дифференциальное представление) для функций Эрмита-Лагерра-Гаусса. Если переписать (2.1.7) в виде
С(®, у, а, а, г) = ехр(х2 + у2 - -ф(з - 50, < - к, а)),