"Физика" дробного исчисления и ее реализация на фрактальных структурах

• Автор: Нигматуллин, Равиль Рашидович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1992
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 231 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Глава 1. Краткая предистория работы и формулировка решаемых

проблем

Глава 2. Модель фракталов со случайными значениями масштаба и ее

приложение для описания гетерогенных систем

2. 1 Суть модели. Функция распределения пор по размерам. . . 15 2. 2 Пористость, закон Арчи и проницаемость осадочных пород. Сравнение с экспериментом

2. 3 Диэлектрическая релаксация

Основные результаты и выводы по главе 2

Глава 3. Дробный интеграл и его физический смысл. Модели систем, описываемые уравнениями в дробных производных

3.1 Какая "физика" скрыта в дробном интеграле?

3. 2 Некоторые обобщения полученных результатов
3. 3 Физические модели, сводящиеся к уравнениям в дробных
производных
Основные результаты и выводы по главе
Глава 4. Другой подход к пониманию нецелой производной. Новые элементы цепей - реинды и рекапы
4. 1 Динамические свойства ветвящихся самоподобных цепей лестничного типа. Точное решение модели Лиу-Каплана-Грея.

4. 2 Самоподобные цепи Фостера, фрактальные инварианты
4. 3 Реинды и рекапы - двухполюсные элементы с Новыми импедансными характеристиками. Свойства цепей, построенных
на их основе
Результаты и выводы по главе
Глава 5. К построению электродинамики фрактальных сред
5. 1 Учет эффектов временной дисперсии
5.2 Функция и "универсальный" отклик
5. 3 Эффекты -нелокальности во фрактальных структурах. Построение электростатики с самоподобным распределением заряда
Результаты и выводы по главе 5
Глава 6. Новый подход к описанию диффузии во Фрактальных средах

6. 1 "Сверхмедленная" диффузия в ветвящихся системах........4_5Б
6. 2 Возможные обобщения. Законы сохранения в дробных
производных
6. 3 Длинные линии с реинд и рекап-элементами как модель
"сверхмедленного диффузионного процесса
Результаты и выводы по главе 6
Заключение. Некоторые проблемы физики промежуточных масштабов

Математические Приложения С МП ) к главам 3-5.....................1$4.

Литература

I. КРАТКАЯ ДРЕДОСТОРИЯ РАБОТЫ И ФОРМУЛИРОВКА РЕШАЕМЫХ ПРОБЛЕМ
Идея этой работы возникла, примерно десять лет назад во время десятимесячной стажировки автора в Челси-колледк (Лондонский .университет) в лаборатории физики диэлектриков А.К, Джоншера. Как физику-теоретику мне было предложено разобрать-, ся в явлении ".универсального" отклика дробно-степенных зависимостях временного спада функции отклика
(и)р£) И' (д)рЬ<1 (1.1а)

(ЮрЬ)с'+1*° и)рЬ>£ «•“>
и частотной зависимости комплексной восприимчивости
%“&) го, и»й)р ц.2а)
II II / *4 ИА/
Х(и))гО (^) _ Ю<и>р (1.26)
В соотношениях (1.1),(1.2), 0<-частота,примерно совпадающая с„пиком потерь.
Внимательное изучение этого вопроса потребовало изучения основ фрактальной геометрий (О , а также знакомства с математикой дробного исчисления I*] , так как по глубокому убеждению автора традиционный математический аппарат, обычно используемый в теоретической физике, не приспособлен для получения дробно-степенных (в особенности иррациональных) степенных зависимостей типа (1,1)*(1.2). Первые результаты автора в этом направлении были отражены в статьях (»1. т а также вошли в обзор [*]

^ является малым и постоянным, а 1)^ - случайная величина, то это эквивалентно муяьтифрактальному подходу [22]Д2ЧМ Завершая этот раздел, мы отметим еще одно обстоятельство в пользу выбора А1. Величины р, К , определенные формулами (2.1.29), представляют собой геометрические средние величин (Рг} и П0Э,Г(ЖУ для достаточно больших 1т.(п»1) имеет место самоусреднение величин { » что делает более
предпочтительным выбор случая А1,
Завершая раздел 2.1 можно сформу лировать- принципы, выполнение которых может привести к.реализации модели фракталов со случайными значениями масштаба,
Ш. Гетерогенная среда может быть описана совокупностью регулярных фракталов, причем масштаб является непрерыв-
ной случайной величиной, пределы изменения которой заключены в интервале СЛ,Л)
П2, Рассматриваемая совокупность регулярных фракталов допускает выделение одного или нескольких доминирующих фракталов с фрактальной размерностью 3)^ , а остальные фракта-
лы незначительно отличаются по своим параметрам от доминирующего. В этом случае, опираясь на формулы (2.1.38),(2.1,39) можно получить функцию распределения (2.1.47),
ПЗ, В результате усреднения о функцией распределения (2,1.47) самоподобный характер гетерогенной среды (имеется ввиду выражение (2.1,20)) в усредненном статистическом смысле должен сохраниться. На основании ИЗ, который можно назвать принципом статистического самоподобия, можно записать следующее математическое выражение

(2.1.51)