Корреляционные функции в интегрируемой теории поля

• Автор: Литвинов, Алексей Викторович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 110 с. : ил.

1 Возмущенные минимальные модели
2 Квантовая теория Тоды
§ 1 Теория Тоды
§ 2 Дифференциальное уравнение
§ 3 Квазиклассичеекий предел
§ 4 Міпівирегзрасе предел
3 Корреляционные функции в теории Лиувилля и квантовой гравитации
§ 1 Корреляционные функции в теории Лиувилля
§ 2 Корреляционные функции в минимальной гравитации
Заключение
Приложение
Литература

Одной из важнейших проблем современной квантовой теории поля является вычисление корреляционных функций локальных операторов. Единственными примерами, где эю возможно сделать, являются двумерная конформная теория поля и двумерная модель Изинга в нулевом магнитном иоле [1,2]. Оба этих примера обьеденяег то, что они являются двумерными интегрируемыми квантовыми теориями поля, т. е. теориями с бесконечным числом интегралов движения. В таких теориях оказывается возможным использовать методы, коюрые не применяются в «обычной» квантовой теории поля. Вообще интегрируемые теории поля делятся на два класса: конформные теории поля и массивные интегрируемые теории ПОЛЯ.
Первый класс или двумерная конформная теория поля, сформулированная в 1984 году Белавиным, Поляковым и Замолодчиковым [1], является замечательным примером интегрируемой теории, в которой все корреляционные функции могут быть вычислены точно. Это становится возможным благодаря конформной инвариантности и использованию гипотезы об операторной алгебре. Конформная инвариантность позволяет легко описать пространство полей в теории. Можно показать что любое иоле принадлежит семейству, порожденному некоторым специальным полем, которое называется примарным. Остальные поля теории называются нолями по-

томками. Размерности '-этих полей образуют серии отличающиеся на целые числа. Их корреляционные функции могут быть найдены из корреляционных функций нримарных полей действием некоторых линейных дифференциальных операторов. Поэтому задача о вычислении всех корреляционных функций в теории сводится к задаче о вычислении корреляционных функций нримарных нолей. Такая простая структура операторной алгебры в теории является отличительной чертой конформной теории ПОЛЯ.
Одними из самых простых конформных теорий поля являются минимальные модели. В этих моделях имеется конечное число примарных полей, причем каждое из этих нолей вырождено. Конформные размерности этих полей задаются при помощи формулы Каца. Любые многоточечные корреляционные функции в этих теориях задаю 1ся при помощи двумерных кулоновских интегралов. Простйший нетривиальные пример минимальной модели это двумерная модель Изинга в критической точке. Остальные минимальные модели описывают более сложные типы критического поведения в двумерных системах.
Другим не менее важным примером конформной теории поля является теория Лиувилля. Эта теория появляется при квантовании теории струн в размерности пространства времени не равной 26. Спектр полей в этой теории, в отличие от минимальных моделей, является непрерывным. В последние годы в этой теории был достигнут замечательный прогресс. В частости, в работах [47-49] были вычислены трехточечные корреляционные функции экспоненциальных полей, что, благодаря конформной инвариантности и гипотезе об операторной алгебре, позволяет в принципе вычислить любые многоточечные корреляционные функции.
Теория Лиувилля допускает естественное обобщение путем введения довию. А именно, пусть параметры (Д2, шз) связанны
%-2дК^(Дз4)4)’ (2л8)
что может быть параметризовано в терминах аз как
аз = хш2. (2.19)
Соответствующее поле вырождено на первом уровне
(им - 1^-1) К» = 0. (2.20)
Мы получили необходимое нам дополнителье условие. Теперь наша корреляционная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению третьего порядка.Чтобы записать его, лучше определить функцию
(У(гШг,)Уф2)Уы,Ы) ~ - х)т С{Х)
(г - г2)2Л’
где х — проективный инвариант четырех точек х = у и символ ~ означает, что опущены члены не зависящие от г. Получаем, что С(х) удовлетворяет обобщенному уравнению Похгамера (3,2)
Х(ХТх + Л')(ХТх + Л2)(ХТх + Лз)-
- (ту + Вх - Л (ту + В2 - Л Ху ах ) ах ) ах

А — —— -Ь2 + Ь(а 1 — С}, 1ц) + 6(а2 — (}, /*1),
Л2 = у - г/ + Ь(а 1 - (], 1ц) + Ь(а2 - (], /г2), (2-22)
Аз = —— ^Ь“ + Ь(а 1 — С?, к) + Ь(а2 — С}, /13),