Классические интегрируемые системы и их теоретико-полевые обобщения

• Автор: Зотов, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

1 Введение

2 Голоморфные расслоения и интегрируемые системы

2.1 Введение

2.2 Пространство модулей голоморфных расслоений в описании Чеха

2.3 Системы Хитчина

2.4 Процедура модификации расслоений

2.5 Модификации и преобразования Бэклунда

3 Приложения геометрических методов

3.1 Примеры интегрируемых систем

3.1.1 Эллиптическая модель Калоджеро-Мозера

3.1.2 Эллиптическая модель Годена

3.1.3 Эллиптический ЭЦАТ, С) волчок
3.2 Связь между системами Калоджеро-Мозера и эллиптическим волчком Эйлера-Арнольда
3.3 Преобразования Бэклунда в модели КМ: 81(2, С) случай
3.3.1 Модификация в з1(2, С) случае
3.3.2 О представлении алгебры Ли б1(2, С) дифференциальными операторами
3.3.3 Проверка каноничности
3.3.4 Преобразование Бэклунда
3.4 Система взаимодействующих волчков
3.5 Система Русенарса-Шнайдсра и Л-оператор Хасегавы
4 Теоретико-полевые обобщения
4.1 Системы Хитчина бесконечного ранга
4.1.1 ЦСЦАТ, С)) голоморфные расслоения
4.1.2 Калибровочные симметрии и симплектическая редукция
4.1.3 Законы сохранения и уравнения движения
4.1.4 Гамильтонианы в случае 81(2, С)
4.2 Полевое обобщение моделей Калоджеро и Годена
4.2.1 А(8Ь(1Г,С))-расслоение над эллиптическими кривыми
4.2.2 Т^оператор
4.2.3 Гамильтонианы для 81(2, С) двумерной модели Калоджеро
4.2.4 Б-А пара для двумерной эллиптической б1 (2, С) модели КМ
4.2.5 Соответствие 2<1 КМ - уравнение Лаидау-Лифшица

4.2.6 Предел к уравнению синус-Гордона
4.2.7 Гамильтонианы для 2с1 эллиптической модели Годена
5 Уравнение Пенлеве VI и модель Калоджеро - Иноземцева
5.1 Введение
5.2 Представление Лакса для модели Калоджеро - Иноземцева
5.3 Алгебраическая интегрируемость в 2 х 2 случае
5.3.1 Эллиптическая модель Годена и редукция к модели КИП
5.3.2 Алгебраическая интегрируемость
5.4 Эллиптическая форма уравнения Пенлеве VI
6 О связи формул Вейля и Концевича для квантового умножения
6.1 Введение
6.2 Представление формулы Концевича в виде диаграмм
6.3 Вычисления во втором порядке
6.4 Вычисления в третьем порядке
6.5 Значения коэффициентов из требования ассоциативности
7 Заключение
8 Приложения
8.1 А. Необходимые сведения по эллиптическим функциям
8.2 В. Синус-алгебра
8.3 С. Приложение к главе
9 Список литературы

1 Введение
Интегрируемые системы классической механики представляют собой исключительные случаи систем дифференциальных уравнений, для которых существует нужное число независимых интегралов движения. Значительный прогресс в изучении таких систем появился в связи с открытием в конце 60-х годов К.Гарднером, Дж.Грином, М.Крускалом и Р.Миурой метода обратной задачи рассеяния, или метода изоспек-трачьной деформации, сформулированного П.Лаксом. Идея метода очень проста. Пусть уравнения движения некоторой динамической системы удалось записать в виде
3,1 = [Б, М],
где Ь и М - пара матриц (пара Лакса). Тогда из этого уравнения следует, что матрица Ь{1) в процессе эволюции подвергается преобразованию подобия:
Щ = э(*)1(0)з-1(*), М = 3(33“1.
Следовательно, собственные значения £(<) от времени не зависят, и являются интегралами движения.
Однако во многих важных случаях рассмотрение лишь конечномерных алгебр Ли недостаточно. Например, число функционально независимых инвариантов полупро-стой алгебры Ли равно ее рангу, так что указанные выше интегралы обеспечивают интегрируемость лишь для тех орбит, размерность которых не превышает удвоенного ранга. Это приводит к естественному обобщению конструкции - рассмотрению уравнений Лакса, содержащих дополнительный параметр г (так называемый спектральный параметр), рассматриваемый как локальная координата на римановой поверхности:
3(1(г) = [Ь{г),М{г).
В таком виде уравнения Лакса впервые появились в работах И.Кричевера и С.Новикова [1]. Инварианты Ьт(Ь(г)к), как и прежде, являются интегралами движения, но теперь уже зависят от г и, тем самым, являются производящими функциями законов сохранения.
Уравнения Лакса со спектральным параметром оказались исключительно полезными для исследования интегрируемых систем. Было доказано, что в общем наложении эти уравнения линеаризуются на многообразии Якоби алгебраической кривой, заданной характеристическим уравнением:
йеЦЦг) - А) = 0.
Этот результат приводит, в принципе, к явному решению уравнений движения в терминах тета-функпий Римана (в этом случае система называется алгебраически

с дополнительным условием (4.46):

. («*)
Мы до сих пор не зафиксировали действие диагональной подгруппой из группы петель Ь(ЗЬ(ЛГ, С)) на Ьа. Соответствующее этому действию уравнение момента и есть связь (4.48).
В случае одной отмеченной точки 1У1 = О имеем:
р = 2тгл/—1 ( и* ) , (4.49)
где и =сопзб - результат фиксации указанной выше калибровочной свободы. В этом случае оператор Лакса является двумерным обобщением соответствующего оператора для двухчастичной модели Калоджеро-Мозера:
ькм= / иф{2и,г)
*ф{-2и,г) + ихЕі(г) )
4.2.3 Гамильтонианы для в1(2, <С) двумерной модели Калоджеро.
Используя (4.35)-(4.40), получим коэффициенты разложения Тк функции Т:
Г Т = + и2 = к
Т = 2т$-их-^чх + ихх (4.51)
I ГоКМ = -1Йг + (2»2 - 1/2)р(2и) - 5^^ + К^)2
где И - Казимир, фиксирующий орбиту коприсоециненного действия в отмеченной точке. Выберем его константой.
Первый гамильтониан - линейный по импульсу:
= / “ 7я- (4’52)
Перепишем его в следующем виде:
= + <4И>
Так как йх^, у(у)} = 0, то уравнения движения принимают вид: