Алгебра Хопфа графов и перенормировки диаграмм Фейнмана

• Автор: Малышев, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 117 с. : ил.

1 Расходимости и перенормировки

1.1 Расходимости фейнмановских интегралов

1.2 Перенормировки и регуляризация обобщенных функций

2 Определение алгебры Хопфа

2.1 Линейное пространство графов

2.2 Алгебра Хопфа графов и 11-операция Боголюбова

2.2.1 Д-операция Боголюбова

2.2.2 Алгебра Хопфа графов

2.2.3 Алгебраическая Я-операция

2.3 Алгебра Ли графов и ренормгруппа

3 Лидирующие логарифмы в симметричной точке

3.1 Вычисление лидирующих логарифмов
3.2 Двухпетлевой интеграл
3.3 Прямая оценка фейнмановских интегралов
3.4 Обощенные уравнения РГ в теории с/?4
3.5 Использование рекурсии и древесной формулы
3.6 Связь с диффеоморфизмами
3.7 Многозарядные теории

4 Ведущие логарифмы в произвольной точке и паркетное приближение
4.1 Ренормгрупповое вычисление
4.2 Паркетное приближение
4.3 Паркетное приближение и главные логарифмы
4.4 Суммирование главных логарифмов в несимметричных точках
5 Алгебра Хопфа ленточных графов
5.1 Ленточные графы и 1/И разложение
5.2 Ленточные графы и поверхности
5.3 Алгебра Хопфа поверхностей
5.4 Функции на поверхностях и перенормировки
5.5 Приложения
Литература

Одна из самых неприятных проблем в квантовой теории поля - расходимость фейнмановских интегралов. Эта проблема была разрешена Боголюбовым и Парасюком в виде Я-операции [1, 2, 3]. С физической точки зрения возможность разрешения проблемы расходимостей связана с существованием ренормгрупповой инвариантности [1, 4]. Эта инвариантность была открыта в работах Штюкельберга - Петермана [5] и Гелл-Манна - Лоу [6]. А всеобщее признание метод ренормгруппы получил после работ Боголюбова и Ширко-ва, которые исследовали структуру ренормгруппы с математической точки зрения, а также дали более прозрачную физическую интерпретацию [1, 7]. Именно их работы позволили связать проблему устранения расходимостей и ренормгрупповую инвариантность, т.е. представить вычитание расходимостей в виде ненаблюдаемых перенормировок [1, 4, 8]. Позднее доказательство о иеренормируемости было усовершенствовано Хеппом [9]. Рекуррентные соотношения для контрчленов были разрешены Завьяловым и Степановым [10], а затем представлены Циммерманом в виде суммы по лесам [11].
К. Вильсон предложил альтернативную интерпретацию ренормгруппы, основанную на аналогии с преобразованием Каданова в статистической физике [12]. Изменение масштаба теории аналогично преобразованию подобия, а уравнения РГ описывают системы с самоподобием [13].
Ренормгруппа наиболее эффективна при изучении асимптотических свойств теорий. Так, с использованием уравнений РГ была найдена асимптотическая свобода в теориях Янга-Миллса [14, 15]. В квантовой теории поля точные отслучае вместо прямой а = О имеем /9 = 0, поэтому вложение соответствующих подграфов имеет вид 71 С 72 С 73. Каждому из вложений соответствует коэффициент 1/3!, а общий ответ равен сумме по вложениям
СЫ = 1 + 1 = 1 (3.27)
В общем случае перекрывающихся расходимостей имеем сумму по максимальным деревьям расходящихся подграфов1 [58]. Деревья расходящихся подграфов были введены Циммерманом [11], деревья расходимостей были использованы Коном и Краймером в первых работах по определению алгебры Хопфа графов и 11-операции [58, 59]. В нашем случае деревья максимальные, поскольку мы изучаем только ведущие логарифмы.
Результат приведенного выше рассуждения может быть записан в виде следующей теоремы.
Теорема 3.3.2. Пусть 7 - одночастично неприводимый граф с четырьмя внешними ребрами и без собственноэнергетических вставок. Тогда коэффициент перед главным логарифмом для этого графа равен
где суммирование производится по максимальным деревьям Т7 расходящихся подграфов в 7, а {71... 7*,} - это множество подграфов в 7, соответствующее Т7 (включая сам граф 7/, пъ - число петель в 7^. Обратим внимание, что пъ - это также число вершин в поддереве Тъ С Т7, построенном по графу 7;. Следовательно, результат (3.28) может быть переписан с использованием древесных факториалов [37]
где по определению Т7 = Ппъ ■ •• п1к.
Определение деревьев, соответствующих расходящимся подграфам, было дано в начале предыдущей части.

(3.28)

(3.29)