Стохастические свойства двухдиффузионной конвекции

• Автор: Сибгатуллин, Ильяс Наильевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 с. : ил.

Глава
1.1 Обзор работ.
Использование прямых методов является основной альтернативой применению конечно-разностных схем в исследовании возникновения и развития турбулентной конвекции. При применении прямых методов естественно обнаруживаются свойства течения, которые при применении конечно-разностных методов можно выявить только с помощью достаточно громоздких конструкций, например при изучении бифуркаций и использовании отображения Пуанкаре. Г.И. Петров впервые начал широко применять метод Галеркина в задачах гидромеханики. При использовании метода Галеркина решение краевой задачи ищется в виде разложения по полной системе базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Значения коэффициентов разложения находятся из условия ортогональности невязки уравнений функциям базисной системы. В работе [1] Г.И. Петров показал, что для отыс-

кания коэффициентов разложения можно использовать другую систему функций, являющуюся базисом в более широком функциональном пространстве (метод Бубнова-Галеркина-Петрова). В тоже время метод Галеркина фактически использовался только для линейных задач, так как в случае нелинейных задач аналитическое вычисление коэффициентов являлось достаточно трудоемкой задачей. До Г.И. Петрова метод Галеркина был обосновал только для самосопряженных операторов. В [1] приведено обоснование применения в случае несамосопряженных операторов на примере задачи Орра-Зоммерфельда. Основная же часть проблем связанных с турбулентным течением не может быть обьяснена с помощью линейной теории [2; 3; 4; 5] и необходимо рассматривать полные уравнения Навье-Стокса.
Л.Д. Ландау в 1944 году в статье ”0 проблеме турбулентности” предложил теорию возникновения турбулентности, основная идея которой состоит в том, что при увеличении силы, приложенной к жидкости извне, возрастает количество мод (периодических движений), пока их не станет столько, что движение жидкости извне будет казаться турбулентным. Аналогичную теорию в 1948 году предложил Хопф [6]. Такое объяснение на первый взгляд казалось вполне естественным, но ее главное ограничение состоит в том, что моды должны быть независимыми (или почти независимыми). И такая ситуация конечно не могла в полной мере удовлетворить исследователей временной эволюции динамических систем. Гораздо более вероятно, что в вязкой жидкости существует сильное взаимодействие мод. И к тому же, по теории Ландау чувствительная зависи-

мость от начальных данных отсутствовала.
В 1963 году Эдвард Лоренц опубликовал статью, которая стала культовой в течение последующих десятилетий вплоть до настоящего времени [7]. Будучи метеорологом и исследуя конвективные атмосферные движения, Лоренц учел первые гармоники при разложении двумерных уравнений и получил нелинейную систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, которую теперь принято называть системой Лоренца. Сам Лоренц называет ее системой Сольцмена (Барри Сольцмен), который рассматривал подобные системы и привлек внимание Лоренца к существованию непериодических решений уравнений [8]. Высокий математический уровень и знание работ Пуанкаре позволили ему не побояться неожиданного результата, полученного в результате численного расчета и списать результат на “барбарашку” в вычислительной машине. В результате мы получили то, что сейчас чаще всего называется аттрактором Лоренца, или странным аттрактором, имея в виду частный случай странного аттрактора, общее определение которого дал позднее Рюэль [9].
Центральным понятием в работах Лоренца является чувствительная зависимость от начальных данных [10; 11; 12; 13; 14; 15]. Адамар, Дюгем и Пуанкаре еще в конце девятнадцатого века активно развивали теорию динамических систем и говорили о чувствительной зависимости от начальных данных, непредсказуемости и случайности при рассмотрении отдельных задач [16; 17; 18]. Одна из самых известных - о бильярде, более общий вид которой был решен уже в 1970 году Синаем [19; 20]. В качестве второго примера Пуанкаре приводил метеорологию
Глава
Применение метода Бубнова-Галеркина. Оценка близости численного решения к истинному решению посредством вычисления невязки исходной модели. Оценка скорости сходимости решения.
4.1 Применение метода Бубнова-Галеркина
Решение задачи (2.8) ищется с помощью метода Бубнова-Галеркина. Т.е. в виде линейной комбинации конечного числа функций из полной системы функций. Коэффициенты ищутся из условий ортогональности невязки к каждой из функций.
В качестве полного набора функций берется тригонометрическая система. Предполагаем, что по оси х движение периодично. Выберем этот период из условия неустой-