Применение методов кинетической теории для решения задач разреженных газов и плазмы

• Автор: Бишаев, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 227 с. : ил.

§1. Уравнение Больцмана
§2. Методы кинетической теории и связь с термодинамикой
§3. Взаимодействие молекул газа с поверхностью
§4. Модельные кинетические уравнения
§5 Основные результаты диссертации
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАЗМЕННОЙ СТРУИ, ВЫХОДЯЩЕЙ ИЗ СТАЦИОНАРНОГО ПЛАЗМЕННОГО ДВИГАТЕЛЯ
Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ ОЦЕНКИ И УРАВНЕНИЯ
§1. Основные оценки
§2. Модельное кинетическое уравнение для резонансной перезарядки
§3. Математическая постановка задачи о струе
Глава 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О СТРУЕ
§1. Общие вопросы построения численной схемы решения задачи
§2. Численные схемы для учета влияния /х и gx
§3'. Численные схемы для нахождения функций /2, , §2 ’ §3
Глава 3. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О СТРУЕ ПЛАЗМЫ, ВЫХОДЯЩЕЙ ИЗ СТАЦИОНАРНОГО ПЛАЗМЕННОГО ДВИГАТЕЛЯ
§1. Решение задачи о струе в осесимметричной постановке
§2. Сравнение с экспериментом
§3. Задача о распылении стенки вакуумной камеры
§4. Трехмерный вариант задачи о струе
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЛИНЕЙНОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Глава 4. МИНИМАКСНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ

§1 Н-теорема для стационарного уравнения Больцмана
§2. Соотношения симметрии Онзагера в разреженном газе

§3. Минимаксный вариационный принцип на основе четной части функции распределения
§4. Минимаксный вариационный принцип на основе нечетной части .функ-

ции распределения
Глава 5. ПРИМЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ К РАСЧЕТУ КОЭФФИЦИЕНТА СОПРОТОВЛЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ
СФЕРЫ
§1. Двойственные вариационные принципы для модели Крука
§2 Выбор пробных функций при использовании построенных вариационных
принципов
§3. Вычисление коэффициента сопротивления с помощью вариационного
принципа максимума
§4. Вычисление коэффициента сопротивления на основе принципа минимума ,
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
§1. Наиболее часто встречающие интегралы по скоростному пространству... §2. Координатное представление сферических функций и наиболее часто
употребляемые соотношения между ними
§3. Некоторые интегралы от функций, составляющих свободномолекулярную функцию распределения
§4'. Нахождение частного решения неоднородных уравнений Лапласа и
Гельмгольца
§5 Наиболее часто используемые в данной работе соотношения между
функциями Макдональда и модифицированными функциями Бесселя
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

§1. Уравнение Больцмана
Кинетическая теория газов основывается на уравнении, которое было предложено в 1872 году Больцманом [1], и которое носит его имя. Оно имеет следующий вид
з/ д/ х а/ “2я-
— + £. — + -X-— = J(f, /) = и I (///' - , Ц=1,2,3 (1.1)
<3/ ску от . О О
Искомой функцией в (1.1) является /(Г,х,^)- функция распределения молекул, аргументами которой являются время I и переменные 6 мерного фазового пространства {х,£}, где х = {х“}, а = 1,2,3 координаты положения молекулы, а £ = {£“} - компоненты ее скорости (в [2] это фазовое пространство названо у-пространством). Xj в (1.1) есть компонента
внешней силы, действующей на частицу массы ш. Формально функцией распределения является нормированная на число частиц плотность вероятности, т.е. ДУ = /(?,х,^)АхД^-есть вероятное число молекул в бесконечно малом объеме фазового пространства й?/ = дхсЩ, имеющих
координаты и скорости в промежутках [ха,ха + Аха] ,(^а,^а + А<^а], а = 1,2,3 соответственно. Больцман полагал, что в с1у находится настолько большое число частиц, что, пренебрегая флуктуациями, можно считать АЫ средним значением числа молекул в йу. Тогда функция распределения Г есть числовая плотность молекул в фазовом пространстве, и для нее можно написать уравнение баланса, чем и является (1.1) при движении молекул, находящихся в с1у. Стоящий в правой части (1.1) называется интегралом столкновений. Это есть источниковый член в уравнении баланса, т.е. пропорционален изменению числа молекул в с1у за счет столкновений. Под столкновением понимается процесс взаимодействия
гаемое в (2.5) и учитывая, что первые интегралы в правых частях обоих равенств можно записать в одной переменной, получим
2- = 0j(g-7)ln(//gyl + -, (2.6)

второе и третье слагаемое в (2.6) это вторые слагаемые в (2.5), поэтому имеая Л тт дн А
ем < U, т. е. утверждение Н-теоремы. В стационарном состоянии =0.
dt dt
Из (2.6) следует, что в этом случае f — g — /о /^ — go !• Тогда
Т‘ = Т" = const, й‘ = йп = const, как и должно быть в равновесном состоянии смеси ионов и нейтралов. Для потенциального электрического поля, повторяя почти дословно вывод, приведенный в [3], можно получить, что в стационарном состоянии системы из ионов и нейтралов будут иметь место следующие соотношения между макропараметрами
Т‘ =Тп = const, и‘ =йп = const, пп = const, п‘ = п0 ехр{-е/к(р IT1} , где ф-потенциал электрического поля. Отметим, что если из всех взаимодействий имеется только резонансная перезарядка, то и в этом случае в системе будет иметь место релаксация. Действительно,
дН ~ ~ _ -
= 0J(g — f)n(f /g)d% <0. В стационарном состоянии будем иметь

f = g = (/(0) + g(0)) / 2. Максвеллизация происходит, если имеется взаимодействие частиц внутри одного сорта.
Известно (см. [34]), что сечение столкновения резонансной перезарядки в достаточно широком диапазоне энергии взаимодействующих частиц слабо зависит от скоростей частиц, поэтому можно считать, что ионы с нейтралами в этом случае взаимодействуют, как твердые сферы с диаметром d. Тогда
vin = d2 / 2 JJg|(^ - w)k dkdw, Vni = d2 / 2 - w)k dkd%. Величина
vinfd% есть число столкновений (взаимодействий) в единице объема за единицу времени ионов, чья скорость лежит в промежутке от [£,£+