Обратные экстремальные задачи для стационарных моделей переноса вещества

• Автор: Соболева, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарного уравнения конвекции—диффузии—реакции
1.1 Постановка исходной краевой задачи
1.2 Постановка обратной экстремальной задачи
1.3 Необходимые условия оптимальности
1.4 Анализ единственности и устойчивости решений экстремальных задач
1.4.1 Единственность решения обратной задачи восстановления плотностей источников
1.4.2 Единственность решения обратной задачи восстановления неизвестного коэффициента граничного условия
1.4.3 Локальная единственность и устойчивость решения многопараметрической задачи идентификации
1.5 Устойчивость решения двухпараметрической экстремальной задачи относительно малых возмущений функционала качества
и объемной плотности
2 Экстремальные задачи для нелинейной модели переноса вещества
2.1 Постановки исходной краевой задачи. Основные пространства
2.2 Определение слабого решения и разрешимость задачи
2.3 Постановка и разрешимость экстремальных задач
2.4 Вывод и анализ системы оптимальности
2.4.1 Существование множителей Лагранжа

2.5 Анализ единственности решений экстремальных задач
2.6 Устойчивость решений конкретных экстремальных задач
3 Анализ результатов численных экспериментов
3.1 Описание общего подхода к решению многопараметрическо- — экстремальной задачи численными методами
3.2 Вспомогательные формулы
3.3 Алгоритм численного решения нелинейной обратной экстр с ~
мальной задачи
3.4 Результаты численного решения нелинейной обратной экстра
мальной задачи
3.5 Результаты численного решения линейной обратной экстремалг ж
ной задачи
Литература

Введение
В последние годы усиленно развивается теория управления гидродинамическими полями в жидких средах. Одной из целей теории является установление наиболее эффективных механизмов управления физическими полями в сплошных средах. Математическое описание такого типа проблем включает три компоненты: цель, механизмы управления, используемые для достижения желаемой цели, и ограничения, которым должны удовлетворять состояние и управления рассматриваемой системы. Роль ограничений обычно играют уравнения рассматриваемой модели сплошной среды: конвекции-диффузии-реакции, гидродинамики и др., вместе с краевыми и начальными условиями, тогда как желаемая цель достигается путем минимизации определенного функционала качества.
В. инженерной экологии задачи управления возникли при решении актуальной проблемы защиты окружающей среды от антропогенного воздействия. Одной из первых работ, в которой исследуются экстремальные задачи для линейного уравнения переноса вещества, явилась книга Г.И. Марчука [67]. В этой книге, в частности, был предложен эффективный метод решения экстремальных задач для линейного нестационарного уравнения переноса. Более подробно о постановках соответствующих задач можно прочитать в [32.62,67,68,74], где, кроме того, можно познакомиться с эффективным методом решения указанных задач для линейных нестационарных уравнений" распространения примеси. Близкие задачи управления рассмотрены в [40, 51,58,63, 72, 85, 95, 97,104,112,129,130,137] для нестационарного уравнения конвекции-диффузии и в [16,36,101,102,112,120,132] для стационарного уравнения конвекции-диффузии.
Наряду с задачами управления, важную роль в приложениях играют обратные задачи для моделей гидродинамики и переноса вещества. Типичная обратная задача для уравнений гидродинамики состоит в следующем: в некоторой части области течения задается нужный гидродинамический режим, а требуется определить или создать реализующие этот режим (гидродинами-

чу регуляризирующий эффект, позволяя доказать единственность ее решения при выполнении дополнительного условия вида (1.62).
Более того, нетрудно показать, что при выполнении условия вида (1.62) решение ( значим (единственное) решение системы оптимальности для задачи (1.47), отвечающее функции р через {р, ад, 771, ф)) а функции <р - через (<р2, &2, г]2,Сг)- Положим в дополнение к (1.35) ра = — <р а — а — а.2 Рассуж-
дая, как и выше, показываем, что для разности р = р — Р2 справедлива оценка (1.54), а для функции г]г справедлива оценка
Ы1< К11аЫМ+\р)\я), г = 1,2, (1.63)
получающаяся из (1-57) заменой <р& на <р.
В то же время тождество (1.58) для разностей 77 = Г} — 772 и С — (1 ~ С2 следует заменить тождеством
Аа(т, 77) + А(а1Т, г/)г„ - и)0(дт/дг, 77) + (кт, 77) + си(т, 77) + (С, т)Гв
= —Х(ат, 772) - ц0((р, т)д + роЫ, т)д. (1.64)
Полагая в (1.64) т = 77, выводим с учетом (112) и условия 77 = 0, что
А*|Ы1? < Аа(т7,77) + Л(о!177 , 77)Глг - ъи0(дг1/дг,г1) + (£77,77) + сДщт?) <
< -А(ш7, 772) - Ро(Р; ??)д + Мо(<Лп ??)д <
< 7зА||?72||1|М|1|Н|Глг + + т4|Ы1д1Ы|1- (1.65)
Рассуждая далее, как при выводе (1.60) из (1.59), из (1.65) приходим к следующей оценке для 77:
1Ы|1 < тзАА;274 274М° + ||<2)[|д) ||а||г* + (П66)
Обратимся теперь к соотношению (1.52). Используя вместо (1.60) и (1.57)
оценки (1.66) и (1.63) при г = 1, выводим, что
-Х(ар2,л)гК < ТзАИНММЫИгд, < До7зА2Ар2М°74(274М°+
+ |1<7,?}||д)||а||г "ЬтзААМЦЦдЦаЦщ, (1.67)