Моделирование динамики нелинейных возмущений границы раздела вязких сред

• Автор: Архипов, Дмитрий Григорьевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 140 с. : ил.

Содержание
Введение
История и современное состояние проблемы Краткая характеристика диссертации

Глава 1 Новая модель для описания нелинейных пространственных волн на поверхностях раздела неглубоких слоев жидкостей
1.1 Эволюция трехмерных умеренно длинных возмущений свободной поверхности слоя вязкой жидкости
1.2 Распространение пространственных волн на границе раздела
двух неглубоких слоев вязких жидкостей
1.3 Динамика трехмерных возмущений на поверхности раздела
двух горизонтальных потоков
Заключение
Глава 2 Моделирование умеренно длинных волн на границе раздела горизонтального двухслойного течения Пуазейля
2.1 Определение картины возмущенного течения
2.2 Динамика плоских нелинейных волн на границе раздела двухслойного потока
2.3 Эволюция квазиплоских нелинейных волн на границе раздела двухслойного потока
Заключение
Глава 3 Использование тензорного подхода для моделирования волновых течений пленок жидкости
3.1 Моделирование напряжений на пленке жидкости,
обтекаемой турбулентным потоком газа
3.2 Дивергентная система для пленки жидкости,
стекающей по вертикальной плоскости
Заключение
Приложение
Список цитируемой литературы

История и современное состояние проблемы

Введение
История и современное состояние проблемы
Задача о волнах на поверхности жидкости естественным образом привлекала исследователей всех времен [Островский, Потапов (2003)]. Форма свободной поверхности разнообразных природных и искусственных водоемов легко поддается наблюдению даже невооруженным глазом, а возникновение, в результате воздействия ветра или предмета, брошенного в воду, на первоначально гладком водном зеркале возмущений связывалось древними философами с человеческими эмоциями, буквально волнением. Не меньшее значение оказывали стихийные события, связанные с волнами на воде - разрушительные пунами, приливные волны и боры, наводнения. С развитием мореходства особый интерес вызывали аномально большие волны, так назваемый «девятый вал», способные затопить, перевернуть или разломить большое судно.
Простейшая теория волн на поверхности воды была предложена Ньютоном в 1687 г. [Голин и др. (1989)]. Эта теория была основана на неверном предположении о том, что гравитационные волны являются поперечными. Правильное решение задачи о волнах на мелкой воде было найдено Лагранжем в 1788 г. [Лагранж (1950)]. Он получил выражение для скорости этих волн в виде с = л/gh. В 1815 г. Парижская Академия Наук объявила Большой Приз по математике на тему «теория волн». Среди участников этого конкурса можно отметить О.Коши и С.Пуассона [Cauchy (1815), Poisson (1816)]. В дальнейшем теория волн на воде активно разрабатывалась в трудах Дж.Стокса и Д.Релея [Stokes (1880), Rayleigh (1883)].
Попытки решения задачи о волнах на протяжении многих лет обогащали математическую физику интересными открытиями. Причина этого состоит в первую очередь в том, что все волновые явления независимо от их природы описываются похожими уравнениями и, соответственно, содержат подобные эффекты, а волны на воде, как упоминалось выше, весьма удобный объект для наблюдения и теоретического анализа. Так, простейшие демонстрации дифракции и интерференции волн проводились на гравитационных волнах, ввиду исключительной их наглядности. Однако гораздо большее значение для теоретической физики оказало развитие теории волн на воде после включения в нее эффектов дисперсии и нелинейности. В большинстве других областей физики, эти эффекты появляются в результате изменений свойств среды в зависимости от амплитуды и частоты сигнала, а в случае волн на воде нелинейность и дисперсия волн неразрывно связана с внутренним возмущенным движением частиц жидкости. К примеру, фазовая скорость корот-
История и современное состояние проблемы

ких волн в однородной жидкости описывается формулой с = jgjk, то есть дисперсия является основным механизмом их динамики. В случаях, когда дисперсия достаточно мала, а именно, для длинных волн, можно воспользоваться разложением с = /дК — /Зк2 (член пропорциональный к отброшен из соображений симметрии). Такое дисперсионное соотношение соответствует уравнению:
дг) г— дт] д3г)
т + 'н8~х+13дх5-°
Далее, предположим, что существуют слабые нелинейные поправки к уравнению, не уточняя их физической природы:
д(г] + сад2) , д{г] + а2г}2) в<Э3г/ 2 д2т]2
—т— + Со—Гх—+/Зэ? = од + “<а
Здесь не выписаны нелинейные члены с более высокими производными, поскольку предполагается, что и нелинейность и дисперсия малы и, соответственно, их комбинацией можно пренебречь. Члены, стоящие в правой части уравнения содержат четные производные по координате (включая нулевую) и ответственны за затухание и накачку сигнала, поэтому для консервативных физических систем они равны нулю. Наконец, нелинейное слагаемое с производной по времени может быть приближенно заменено по линейному
соотношению: , , ч
ДР(?7) _ __ ШДт?)
дЬ С° дх
дг/2 _ дг]2
дЬ С° дх
Таким образом, простейшее волновое уравнение, описывающее консервативную систему с малым влиянием нелинейных и дисперсионных эффектов может быть приведено к виду:
дг) дг] дг}2 д3г
т+Сад + а~а + 13а-°

, после преобразования t1 = t — x/cq,
дт] дц2 Л _ де + “вТ+ /39?"°
Это уравнение было получено Д. Кортевегом и Г. де Вризом (1895) [Korteweg & de Vries (1895)] для описания, так называемой, «волны трансляции>, обнаруженной ранее С. Расселом [Russel (1845)] в узком речном канале. Согласно экспериментам Рассела, такие волны обладают рядом необычных свойств,
1.2 Распространение пространственных волн на границе раздела

Последняя перегруппировка производных сделана для того, чтобы в дальнейшем было легче увидеть с какими членами сократятся эти слагаемые. Поправки третьего и более высоких порядков малости, как всегда, опущены.
Во второй части интересующего интеграла заменим верхний предел на О, вынесем производные за знак интеграла и введем величины, усредненные по глубинам слоев:
I00*= / )‘гг=(-1)'1ч72<и1)
В третьих частях интеграла также заменим верхний предел на 0, вынесем производные за знак интеграла, воспользуемся интегрированием по частям, уравнением неразрывности (1.19) и условиями прилипания на крышке и дне:-

V . о»,

[ диц
У и‘«7

иг V и, йг
Наконец, в предположениях длинноволновости слабонелинейных возмущений и тонкости пограничных слоев в членах второго порядка малости имеют место приближенные равенства (и2) = (и/)2. Тогда уравнения (1.26) можно переписать в виде:
дЬ1_

= —V (т< -т$ + щ
Р1 дг1
з ' дг2

(1.27)
Для членов второго порядка малости лапласиан давления на границе раздела может быть определен из первого приближения (длинные линейные волны без учета капиллярности и диссипации) так, как это сделано в работе