Математическое моделирование течений неоднородной несжимаемой жидкости

• Автор: Худобина, Юлия Петровна
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 134 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1. Установившееся течение неоднородной несжимаемой жидкости
1.1. Общие положения гидродинамики неоднородной жидкости
1.2. Функция тока для стационарного течения
1.3. Приведение к безразмерному виду
1.4. Исключение члена с квадратом скорости
1.5. Экспоненциальное распределение плотности
1.6. Одномерное течение неоднородной жидкости
1.7. Решение однородной задачи
1.8. Результаты вычислений
1.8.1. Конечные формулы и алгоритм
1.8.2. Диполь в потоке неоднородной жидкости
1.8.3. Источник в непрерывно стратифицированной жидкости
1.8.4. Кусочно-экспоненциальное распределение плотности
2. Вихревая модель движения границы раздела
2.1. Обсуждение литературы и постановка задачи
2.2. Закон изменения циркуляции скорости вдоль границы раздела
2.3. Алгоритм численного моделирования
2.4. Примеры типичных вычислений
2.5. Непрерывное распределение вихрей вдоль линии раздела
2.6. Осесимметричные термики
2.7. Волны вблизи наклонного берега
2.8. Движение линии раздела плотностей жидкости в неоднородном
поле ускорений
2.9. Термики в пористой среде
Заключение
Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ
Гидродинамика несжимаемой и невязкой жидкости в настоящее время представляет собой сильно развитый раздел науки, в котором изучается движение и равновесие жидкостей, и их взаимодействие с твердыми телами. В ней разработаны эффективные теоретические и, главным образом, математические методы исследования. Наиболее развитые методы решения относятся к безвихревым течениям, когда отсутствует вращение частиц, т. е. когда имеет место потенциальное течение, и скорость V = grad Ф, где Ф - потенциал скорости. Для потенциальных течений найдены решения многих частных задач: о безотрывном обтекании плоских контуров, о струйных течениях, о волновых движениях жидкости, об источниках, стоках и вихрях, о потенциале простого и двойного слоя, и других. Успешно решены задачи о вихревых нитях и слоях, о вихревых цепочках и системах вихрей. Все эти успехи теоретической гидродинамики относятся к случаю, когда считается, что плотность жидкости всюду постоянна. Для описания движения несжимаемой (р = const) жидкости используется уравнение неразрывности и уравнение движения. Для решения этих уравнений необходимо задавать еще начальные и граничные условия. Граничные условия зависят от вида границ. В идеальной жидкости, не обладающей вязкостью, на твердой границе применяется условие ‘непротекания’: в нуль обращается только нормальная к стенке составляющая скорости. На свободной поверхности, граничащей с пустотой или с воздухом (газом), должно выполняться условие постоянства давления. Поверхность, удовлетворяющая такому условию, в ряде случаев моделирует поверхность раздела жидкости с газом или паром. Задачи со свободной поверхностью обычно ассоциируются с волнами на поверхности воды.
Теоретическая гидродинамика неоднородной жидкости развита в значительно меньшей степени. Она имеет дело с принципиально вихревыми течениями, которые с большим трудом поддаются математическому анализу. Вихри в неоднородной несжимаемой жидкости возникают из-за нарушения

баротропии, когда не совпадают нормали к поверхностям постоянного давления и плотности. Уравнение неразрывности и условие несжимаемости для неоднородной жидкости не совпадают друг с другом и записываются как независимые уравнения. Поэтому в поведении течений однородной и неоднородной жидкости имеются существенные различия. Природным примером неоднородных жидкостей является атмосфера и океан, а также и грунтовые воды. Эти среды никогда не находятся в состоянии покоя, так как малейшее нарушение локальной плотности приводит к тому, что одни участки жидкости всплывают под действием архимедовой силы, а другие опускаются. Это сопровождается образованием кольцевых вихрей, как, например, при подъеме нагретых масс воздуха — ‘термиков’. Таким образом, сила тяжести в гидродинамике неоднородной жидкости играет основную роль, и такие течения по своей природе являются нестационарными. Теоретическое изучение подобных течений наталкивается на большие математические трудности, и поэтому примеров точных решений не встречается в литературных источниках. Этим и объясняется актуальность всяких исследований в области гидродинамики неоднородной жидкости, направленных на изучение ее свойств.
Существует достаточно много публикаций, относящихся к гидродинамике неоднородной жидкости. В подавляющем большинстве из них показывается, что эффективным способом нахождения приближенных решений является линеаризация уравнений и соответственно граничных условий (метод малых возмущений). Получающиеся при этом линейные уравнения в частных производных являются уравнениями типа Соболева. Они описывают сложную структуру внутренних волн в неоднородной жидкости. Эти внутренние волны сильно отличаются от упругих и акустических волн, и, по своим свойствам, больше похожи на волны, движущиеся на поверхности тяжелой жидкости. Для них характерна анизотропность и сильная дисперсия.
Численные методы решения общих, не линеаризованных уравнений неоднородной жидкости применялись только к случаю установившихся движений. Эти публикации относятся к 50-60 годам 20-столетия. Из них следует,
ех -ерх=-хЬе-Р
« J, (Ь1и2 — х2 )
6 с/ гг.
л/гг2 —:
(1.7.5)
Под интегралом здесь стоит разрывная функция. Подразумевается, что она равна нулю, при выполнении неравенства и<х. Подставляя (1.7.5) в (1.7.4), и, меняя порядок интегрирования, найдем
= -е-ри<1 и
1, 6 л/и 2 - X2 л/гг2
Iх Ь —У у у 2—- [ДХМ(°)] 4 X
(1.7.6)
Поменяем местами также обозначения переменных интегрирования

= - е-рхс1
1, (ь л/х2 - и2 )
р ь г___г [«„)
6(0)] с/ и
(1.7.7)
Принимая, что /(х) это искомый оригинал для изображения рул]р2+Ь2), и, сравнивая между собой левую и правую части в (1.7.7), получим
* и (йл/х2 — и2 )
А(х) = /(х)-ь | ... - —-[/(гг)-/(0)]с/гг. (1.7.8)
о л/х
Формула (1.7.8) дает связь между оригиналами /(х), /,(х) и является частным случаем теоремы Эфроса об обобщенной свертке [43]. Дальнейшее преобразование формулы (1.7.8) связано со свойствами функции Бесселя. Дифференцируя функцию Бесселя нулевого индекса, имеем
(1.7.9)
И / I (Ьх и |
J0 {Ь']х2 — гг2 ) = Ь -2 -- ’
с1 и > л/х2
Следовательно, (1.7.8) можно записать в виде
•/!(*) = /(*)- ){~иА{ь л/х2 — гг2 |[/(гг) —/(0)]<7 гг. (1.7.10)