Волновые и диффузионные процессы в жидком слое конечной толщины : аналитические решения

• Автор: Гиниятуллин, Айрат Рафаэлевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 142 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ОБОБЩЕННЫМ УРАВНЕНИЕМ КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА
Введение
,‘у 1.1. Обобищнное уравнение Кортевега-де Вриза для волн в двухслойном потоке с
учетом эффектов поверхностного натяжения
1.1.1. Вывод обобщённого уравнения Кортевега-де Вриза для двухслойной
жидкости
£ 1.1.2. Анализ коэффициентов уравнения (1.66) и различные частные случаи
1.1.3. Стационарные локализованные решения уравнения Гарднера-Кава-
хары (1.68) и их свойства
£ 1.2. Уединенные волны в рамках уравнения Кортевега-де Вриза с логарифмической нелинейностью
§ 1.2.1. Формальный вывод уравнения 1с^-КдВ
§1.2.2. Стационарные решения
$ 1.2.3. Обоснование вывода гауссовых уединенных волн
1.2.4. Спектральная устойчивость уединенных волн Гаусса
$ 1.3. Универсальные спектры опрокидывающихся волн в среде с произвольной
нелинейностью без учета дисперсии
£ 1.3.1. Степенная асимптотика при обрушении волн
$ 1.3.2. Малые дисперсионные и диссипативные эффекты
Выводы
ГЛАВА 2. ТРАНСФОРМАЦИЯ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННОМ ДВУХСЛОЙНОМ ПОТОКЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Введение
§ 2.1 Безотражательное распространение внутренних волн в канале переменного сечения и глубины
$ 2.1.1. Бегущие волны в двухслойном потоке переменной сечения
£ 2.1.2. Конфигурации бассейна, допускающие безотражательное
распространение внутренних волн
2.1.3. Структура бегущей внутренней волны в безотражательном канале 71 § 2.2. Отражение внутренней волны в критической точке, где двухслойный поток

переходит в однослойный
§ 2.2.1. Аналогия между задачами наката поверхностных и внутренних волн
§ 2.2.2. Накат внутренней волны на откос
§ 2.2.3. Обрушение волны на откосе
§ 2.3. Адиабатическая трансформация солитонов внутренних волн в двухслойном
потоке переменной глубины
§ 2.3.1. Теоретическая модель, основанная на обобщенном уравнении Корте-
вега-де Вриза
§ 2.3.2. Уединенные внутренние волны (солитоны)
§ 2.3.3. Адиабатическая трансформация солитопа внутренних воли в потоке переменной глубины
Выводы
ГЛАВА 3. ИНТРУЗИЯ ВОДНОГО ПОТОКА В ВОЗДУШНОЙ СРЕДЕ НАД РОВНЫМ ДНОМ
Введение
§ 3.1. Физическая модель интрузии водного потока в воздух на ровном дне
§ 3.2. Локальное существование решения линейной задачи для контактной линии на границе вода-воздух
§ 3.2.1. Решение для постоянной скорости контакта V(t) = Vq
§ 3.2.2. Решение первоначальной проблемы с V(t)
§ 3.3. Формирование особенностей при вхождении движущегося жидкого потока
в воздух
§3.3.1. Априорные оценки энергии
§ 3.3.2. Автомодельные решения для формирования особенностей
§ 3.3.3. Точечные уравнения^
Выводы
Заключение. оо
Библиографический список

Введение
В настоящее время многие практические задачи механики жидкости решаются численно в рамках уравнений Эйлера или Навье-Стокса с использованием специальных вычислительных комплексов. Некоторые из них находятся в свободном пользовании через Интернет, и они достаточно известны (MlTgcm, Gerris, OpenFOAM, Thetis and Truchas). Отмстим лишь некоторые применения подобного рода вычислительных комплексов в близкой для нас области описания волновых движений на мелкой воде: моделирование наката волн цунами на побережье Японии [Kim et al, 2013], волны, вызванные движением деформируемого оползня | Abadie et al., 2010], обрушение волн как с «разбрызгивающимися», так и «разрушенными» бурунами [Lubin et al., 2006; Jacobsen et al., 2012], взаимодействие волн и потоков со структурами [Formaggia et al., 2008], внутренние волны и их разрушение [Talipova et al, 2013]. Как отмечается в только что опубликованной работе [Wroniszewski et al, 2014], в силу разнообразия и сложности различных вычислительных комплексов необходимо иметь единые тестовые задачи (benchmarks), позволяющие сопоставлять точность вычислений по различным программам. Большим подспорьем для разработки таких тестов являются аналитические решения уравнений гидродинамики, получаемые в рамках различных приближений. Ввиду многообразия определяющих параметров геофизических процессов (неоднородная стратификация плотности и течений, переменная глубина, нелинейность, дисперсия, диссипация) выделение качественно разных процессов и явлений наиболее просто делается в рамках теоретических подходов, и это должно проводиться прежде, чем использовать прямое численное моделирование. Именно поэтому так важны аналитические исследования гидродинамических процессов. В одних случаях они позволяют исследовать физику происходящих процессов, в других - понять ограничения имеющихся моделей и выяснить природу численных неустойчивостей.
Настоящая диссертация посвящена аналитическому решению некоторых задач волновых и диффузионных процессов в жидком слое конечной толщины.
Цели диссертационной работы
Основной целью диссертационной работы является изучение волновых и дифф)узи-онных процессов в слое жидкости конечной толщины. В частности, предполагается;
1. Исследовать структуру нелинейных волн, описываемых различными обобщениями уравнения Кортевега-де Вриза, а именно: уравнением Гарднера-Кавахары, уравнением Кортевега-де Вриза с логарифмической нелинейностью; бездисперсионным пределом обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза.

ратной задачи теории рассеяния. Численно исследованы решения уравнения Гарднера-Кавахары в виде уединенных волн. Показано, что солитоны имеют осциллирующие хвосты. В зависимости от величины капиллярных эффектов уединенная волна близка к соли-тону Гарднера (слабая капиллярность) или к осциллирующему пакету (капиллярные эффекты превалируют).
Рис. 1.10. Примеры односолитонного (сверху) и би-солитонного (снизу) решений, представляющие семейство стационарных многосолитонных решений уравнения (1.74)