Асимптотические задачи фильтрации при наличии фазовых переходов

• Автор: Шилович, Николай Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Оглавление
Введение
I. Модельная задача двухфазной фильтрации жидкостей с сильно различающимися подвижностями при наличии фазовых переходов
1) Уравнение процесса
2) Модель двухфазного течения с фазовым переходом
3) Автомодельное решение
a. Внешнее разложение. Перерождение типа особенности
b. Разложение в пограничном слое. Сращивание разложений
c. Обоснование построения асимптотического разложения
4) Неавтомодельное решение
5) Свойства решений. Скейлинговая инвариантность
II. Модельная задача двухфазной фильтрации жидкостей с сильно различающимися подвижностями при наличии фазовых переходов и
капиллярных сил
1) Уравнение процесса
2) Автомодельное решение
3) Неавтомодельное решение
4) Свойства решений. Скейлинговая инвариантность
Ш.Численное моделирование фазового перехода в задачах фильтрации
Заключение
Литература
Подрисуночные подписи
Введение
Многие процессы в гидрологии и нефтяной инженерии приводят к задачам двухфазного течения с "распределенными" в пространстве фазовыми переходами в пористой среде, происходящими не на отдельной поверхности, как, например, в классической задаче Стефана, а в пространственной области. Это имеет место всегда, когда флюид состоит из нескольких химически различных компонент, находящихся в различных агрегатных состояниях. Типичными примерами является выделение газа при течении насыщенной нефти, углеводородного конденсата при течении природного газа, образование твердой серы при фильтрации сероводородсодержащего газа, выделение кислых газов при течении минерализованных растворов подземной воды. Наиболее важным представляются течения газоконденсатных смесей, обусловленных эффектом так называемого ретроградного перехода в результате молекулярного взаимодействия различных типов тяжелых углеводородных газов в некотором диапазоне давлений. В приведенных примерах образование углеводородного конденсата при фильтрации природного газа или образование твердой серы при фильтрации сероводородсодержащего газа, соответствует ретроградной конденсации, т.е. конденсации вещества при понижении давления. Во всех этих случаях новая фаза образуется в достаточно малых количествах, при которых ее фильтрация на начальном этапе в пористой среде затруднена. В силу этого подвижности фаз сильно различаются, т.е. оказываются контрастными.
Формирование двухфазных течений весьма характерно для процессов нефте- и газодобычи. Подобные течения формируются, во-первых, в тех случаях, когда происходит высвобождение растворенного газа, во-вторых, когда происходит естественное или искусственное вытеснение углеводородов. Обычно вытесняющим агентом служит вода, а сам процесс называется заводнением. Подвижность нефти в пласте во многом зависит от количества растворенного в ней газа. Растворимость же газа в нефти определяется давлением (и температурой как постоянным пластовым параметром, но не параметрами процесса течения). В целях поддержания пластового давления и, как следствие, задержания газа, присутствующего в нефтяных или водных подземных резервуарах, на практике широко применяется метод заводнения. По этой причине возникает потребность в математическом моделировании процессов вытеснения двух несмешивающихся жидкостей. Одной из первых моделей, описывающих двухфазные течения, явилась одножидкостная модель “разноцветных жидкостей” [Герольд С.П., 1932]. В рамках подобных моделей предполагалось, что область фильтрационного течения полностью заполнена однородной жидкостью с неизменными характеристиками, например, такими же, как у вытесняемой жидкости — нефти. Вытесняющая и вытесняемая жидкости отличаются при этом только цветом, т.е. фактически прослеживается

перемещение первоначальной границы раздела жидкостей при известном поле давлений.
В работах [Куфарев П.П., 1948] эта модель усовершенствована путем пренебрежения зависимостью от давления плотности воды и предположения полного взаимного вытеснения жидкостей. При этом давление в области фильтрации, включая границу раздела жидкостей, квазистационарно, а задача определения границы - нелинейная. Модели подобного рода называются моделями “поршневого” вытеснения. Использование моделей “ поршневого вытеснения, не учитывающих неполноту вытеснения несмешивающихся жидкостей, не согласовывалось с экспериментальными данными и опытом разработки залежей. Поэтому появились попытки учесть неполное вытеснение и зону совместного течения жидкостей путем изменения фильтрационных характеристик. Так, в экспериментах Викова и Ботсета WycoffR.D., Botset H.G., 1936] были впервые построены фазовые проницаемости при совместном движении двух несмешивающихся жидкостей в пористой среде как функции насыщенностей одной из фаз.
Одномерная модель фильтрации с использованием фазовых проницаемостей и в предположении несжимаемости флюида была исследована Бакли и Левереттом [Buckley S.E., Leverett М.С., 1942], которые выявили наличие скачка насыщенности на фронте вытесняющей жидкости, что указывало на гиперболическую природу уравнений для насыщенности. Классические модели двухфазной фильтрации, такие как модели Бакли-Леверетта и Раппопорта-Лиса [Rappoport L.A., Leas W.I., 1953] предполагают зависимость функций фазовых проницаемостей и капиллярного давления только от насыщенности. Предварительный анализ линейной модели был впервые проведен А.Н. Коноваловым [Коновалов A.H., 1972], где в качестве искомых функций были предложены насыщенность и функции тока суммарного потока.
Уравнения течения неоднородных жидкостей в общих предположениях были даны М. Маскетом и М. Мересом [Chungshiang P.P., 1990],
рассматривающих изотермические процессы при наличии 3-х фаз (вода, жидкость, газ), находящихся в фазовом равновесии. Система настолько сложна, что решения могут быть получены, как правило, только численными методами. Модели, основанные на уравнениях Маскета-Мереса, принято называть моделями черной нефти (black oil model). Их применение в некоторых случаях, например, при истощении газоконденсатных месторождений, невозможно, поскольку возникают эффекты фазовых переходов, существенно зависящие от компонентного состава углеводородной фазы и термобарических условий фильтрации.
Для этой цели используют так называемые композиционные модели, использующие сложные уравнения состояния смеси и коэффициенты распределения (константы фазового равновесия) [Николаевский В.H., 1996]. В случае двухфазной фильтрации уравнения баланса масс компонент

Мы ввели растяжение переменной Q =

с той целью, чтобы
регуляризировать зависимость от а каждой из функций v(£, а) и v(£,e) вплоть
до точки 4=0. Предельное уравнение получается из (З.а.6) при а =0 и принимает вид:
ез ds -
д — = 0, т.е. s = const и в частности нулю.
Поэтому естественно пограничный слой искать как решение допредельного уравнения (З.а.6):
Щґ Є) . dv^'E) + v(^g) . dv(£,a)
. d£, A(e) ' dC
-2 Xa1 ■ v(4,£) ■ v(£,a) = -2 Aa
(3.a.7)
Представим левую часть уравнения (З.а.7) в виде:
dv(lg,a)
Ч£,*У
^+еУ^,а).Щ,а)]р-у^р-2Лаг-v(f,a)
+(?+ай№.а)-ЧМГ)

-i v(lg,a) dv{£,a) А (а) ' dC
= -2 Ла2 (З.а.8)
Тогда функции г(4,а) и у(£,а) могут быть определены из следующих дифференциальных уравнений:
(4} + eyt[v(t,a)-v(£,a)fl)
/м) dv(^,a) dig
- 21а1 ■ v(lg,a) = 0 (З.а.9)
43+^[у(4,£)Т(4,г)]я dv(C,a) _
А (а)

= -2 Ха
(З.а.10)
Подставив в уравнения (З.а.9) и (З.а.10) соответственно выражения:

у(4^) = £^ги(4) + 0(^+1) и ЧС,*) = Хаа%(С) + 0(ат"),
Ы) 1=
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях параметра а, мы получим уравнение для определения функций у,(4) и Ц(£).