Развитие метода граничных элементов для численного моделирования динамики трехмерных однородных пороупругих тел

• Автор: Аменицкий, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 143 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
1. Математическая модель и базовые решения
1.1. Модели пороупругой среды и необходимые вспомогательные методы
1.2. Фундаментальные и сингулярные решения
1.3. Одномерные аналитические решения
2. Построение гранично-элементной схемы
2.1. Сравнение численных результатов, полученных методами Дурбина, квадратур сверток и шаговым методом численного обращения преобразования Лапласа
2.2. Численный анализ фундаментальных решений трехмерной динамической теории пороупругости
2.3. Интегрштьные представления и граничные интегральные уравнения
2.4. Гранично-элементная дискретизация
3. Гранично-элементное решение задач
3.1. Организация входного потока гранично-элементного моделирования
3.2. Задача о действии силы на торец призматического пороупругого тела
3.3. Задача о действии вертикальной силы на пороупругое полупространство
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение
Дисперсные среды, в-частности пористые материалы, широко распространены в природе и технике: насыщенные газом или жидкостью грунты и горные породы, строительные материалы (древесина, песок, кирпич, технические пены и т.п.).
Исследование волновых процессов в пороупругих телах и средах представляет значительныйинтерес. Для широкого диапазона насыщенных материалов упругая-теория, а также вязкоупругое описание являются грубым-' приближением- при* исследовании распространения волн. Дляучета пористости необходима совершенно другая-теория,-
Математическое моделирование таких многокомпонентных сред, как пористые насыщенные жидкостью (газом)-среды, имеет более чем 90-летнюю историю. Сложности описания эффектов взаимодействия, фаз, фазовых переходов, теплообмена и т.п. не позволяют построить для них общепринятую модель. Существенные упрощения: отсутствие фазовых переходов, температурных эффектов и пр. дают, тем не менее, модель среды, значительно усложненную по сравнению с однородной упругой или вязкоупругой моделью. Это вызвано способностью жидкости втекать или вытекать в любую область, формируемую порами, что является, принципиальным отличием пористой среды от упругой. Отмеченное явление особенно важно при рассмотрении волновых процессов. В таких задачах по мере роста частоты колебаний возрастает вклад динамического поведения жидкости, что значительно усложняет модель среды.
Вопросы распространения волн в пористых насыщенных средах рассматривали М. Био (1956), Т.З. Вербицкий (1975, 1977), Дж. Гиртсма и Д. Смит (1961), В.П. Горбатова (1969), Б.Я. Гуревич и С.Л. Лопатников (1985, 1986), Н.С. Городецкая (1998), В.Е. Донцов и др. (1987, 1988), Л.М. Дорогиницкая и др. (1964), Н. Дунин, Д. Михайлов, В. Николаевский (2002), П.П. Золотарев (1963), O.K. Кондратьев (1986-г.), В.Н. Крутин и др. (1984, 1988), Г. Кустер и М. Токсоз (1974), Г.М. Ляхов (1982), Ф.М. Ляховицкий (1988 г.), М.Г. Марков и А.Ю. Юматов (1984), Р.И. Нигматулин (1978), В.Н. Николаевский (1963, 1970, 1984), Б.П. Сибиряков и др. (1978), В.П. Степанов (1963), Л.П. Хорошун (1980), R. Ababou и др. (2002), -D.F. Aldridg и др. (2005); S: Domenico (1974, 1976), J. Jocker и D. Smenlders (2005), G. Chao и др. (2005), G. Mavko и A. Nur (1975, 1979), N.I. Robinson (2002), C. McCann и D.M. McCann, (1969, 1985), S. Mochizuki (1982), U. Murphy и др. (1982, 1984), R. Stall (1970, 1979, 1980), H.F. Wang (2000), J. White (1975) и-многие другие.
Началом активных исследований волновых процессов в насыщенных пористых средах послужила работа Я.И. Френкеля (1944). Вслед за этой работой уравнения
распространения звуковых волн в газонасыщенной пористой среде в одномерном приближении были получены в книге К. Цвиккера.и К. Костена (1952). Теория М. Бйо, как. показано Л.Я; Косачевским (1959), опирается на те же соотношения между напряжениями и деформациями, что и в-работе Я.И. Френкеля, но отличается большей, общностью. Теория распространения, звуковых волн в насыщенной пористой'среде также изучалась П.П. Золотаревым. (1964), В!Н. Николаевским (1963) и Х.А. Рахматулиным (1956). Подробный« анализ уравнений, распространения, звука- в насыщенной пористой'среде, предложенный различными авторами, дан В.Н. Николаевским (1970).
Важным результатом исследований волн в насыщенной пористой среде явилось предсказание существования трех типов собственных волн: продольных волн первого и второго рода (называемых иногда быстрой и медленной продольными волнами) и поперечной полны (волны сдвига). Если быстрая продольная и сдвиговая волны по своей природе близки к волнам в упругой' среде, то медленная продольная волна с ее значительными дисперсией и затуханием, вызванная перемещением, частиц' жидкости относительно скелета, свойственна именно пористой среде.
Работа посвящена изучению распространения волн в пороупругих телах и средах; исследованию влияния ■ пористости на1 характеристики-волн. При анализе волн рассматриваются задачи; которые могут быть, сведены- к решению' граничных интегральных уравнений (ГИУ). Метод ГИУ развивается в сочетании с методом граничных элементов (МГЭ). Универсальность метода позволяет преодолеть ограничения ряда аналитических и численно-аналитических методов относительно форм границы, включений, полостей и т.п.. Метод ГИУ и MF3 не имеют традиционных недостатков таких универсальных численных методов, как метод конечных элементов (МКЭ). и метод конечных разностей (МКР). Высокая, точность получаемых результатов на основе ГИУ и МГЭ необходима для рассматриваемого класса задач. К тому же, исследование волновых процессов в полубесконечных телах является естественным для применения ГИУ и МГЭ, а для МКЭ и МКР решение задач выбранного класса наталкивается на существенные ограничения этих подходов и требует для них искусственных адаптаций вычислительных МКЭ- и МКР-схем:
Несмотря' на успешное подтверждение выводов теории пороупругости' для искусственных материалов, результаты экспериментальных исследований демонстрировали значительное расхождение величии дисперсии и затухания для, сред естественного происхождения J. Dvorkin, A. Nur (1993), R.D. Stoll (1985, 2000), A. Turgut, T. Yamamoto (1990). С. целью получения согласованных результатов, теории и эксперимента рядом авторов были предложены модели пористых сред. В большинстве

/ m 2 VL Hc ' 2 ff ßR fc + |G
Для преобразования полученного выражения введем обозначения:
а------f-, b = —7-V-, с--—,
2PR 2[t+|C) G
,_s2Pf(a-ß)2 A_s*f~Pf(p-ßpf)
2 ^ + j3R{k+^G)
Так как справедливо
(c—a—b—d)2 -(a + b + d)2 + A = c2 —2ca - 2cb — 2cd + A,
то можем записать „
s (P~ ßPf) ^sL(p-ßpf Ф sLpf f (p-ßpf s (p-ßpf
2 fl о KB n f
2| k+^G
f2(P~ßPf) s2pf(a-ß)2 | s4 ■s4 (p-ßpf
G k+^G
s42 pf (p-ßpf)

Ä: + yG G
s2(p-ßpf) s2pf(a-ß)2 G 2ß^k+~G
s4(p-ßpfpf(a-ß)
Gß^k + ~G
s4(p-ßpf2 s4 G ßR G k + -G 3 .
S4(p-ßpf2 S402pf(p-ßpf)

G k+^G
s4(p-ßpfpf(a-ß)1 _ i
Gpk +—G
G k-— G
' s4(p-ßpf2 s4p2pf(p-ßpf G pR