Применение метода инвариантной нормализации к построению асимптотических решений некоторых задач гамильтоновой механики

• Автор: Шундерюк, Михаил Мирославович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Гамильтонова нормальная форма
1.1 Определение гамильтоновой нормальной формы
1.1.1 Комплексная гамильтонова нормальная форма
1.1.2 Частные случаи нормальной формы
1.2 Нормальная форма вещественных квадратичных гамильтонианов
1.2.1 Системы с одной степенью свободы
1.2.2 Системы с двумя степенями свободы
1.2.3 Системы с п степенями свободы
1.3 Нормализация квадратичных гамильтонианов в случае действительных либо мнимых корней характеристического полинома
1.4 Нормальные формы для нелинейных систем с двумя степенями свободы
1.4.1 Общий вид нормальной формы
1.4.2 Нормальная форма при отсутствии резонансов
1.4.3 Нормальная форма при наличии резонансов .
2 Инвариантная нормализация
2.1 Методы вычислений нормальных форм
2.1.1 Нормализация с помощью производящих
функций Якоби
2.1.2 Нормализация с помощью рядов Ли
2.1.3 Нормализация с помощью параметрической производящей функции
2.2 Нормализация гамильтонианов, представленных в виде степенных разложений с произвольными коэффициентами
2.3 Интеграл приближенной системы в случае, когда квадратичный гамильтониан не приведен
к нормальной форме
3 Движения в окрестностях коллинеарных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел
3.1 Постановка и актуальность задачи
3.2 Разложения гамильтониана
3.3 Нормализация квадратичного гамильтониана в окрестностях коллинеарных точек либрации
3.4 Сравнение результатов с ранее известными
3.5 Асимптотические разложения нормальной формы
гамильтониана для точек либрации
3.6 Ограниченные решения
4 Двухмерные колебания тяжелой материальной точки на пружине
4.1 Постановка задачи
4.2 Нерезонансный случай
4.3 Резонанс 1:
4.4 Двоякопериодическое решение в окрестности резонанса 2:
Заключение
Публикации автора по теме диссертации

Список иллюстраций
Список таблиц

Б.2. В.Ф. Журавлев [29, 31, 33] предложил решать гомологическое уравнение (2.3) с помощью интегрирования. Используя свойство нормальной формы
Но * Рк = ^Рк = 0 (2.4)
и равенство Но* С к = сЮк/сН, где производная по £ берется в силу системы ъ = дНо/дх, х = —дНо/дх, гомологические уравнения (2.3) можно представить в виде
с1Рк(х, х)/сИ = 0, Мк{х,х) = Рк[х,х) - йОк(г,7,)/(И, (2.5)
Пусть х{Ь, Z, 2), 2(£, Z, 2) решение системы с гамильтонианом Но. Подставляем решение в функцию Мк{х,х), получим функцию времени и параметров Z, 2:
тк(Ь,Х,Х) = Мк(х(Ь, Ъ,Ъ),хЦ,Ъ,Ъ))
Подставляем его во второе уравнение (2.5) и интегрируем с учетом первого
./о тк{Ъ,2)сИ = 1рк(Х,2) - Ок{х{1,Ъ,Ъ),ъ{$,Ъ, 2)) ^ =
= *А(г,2) + с?к(г,2) + 5(*), (2-6)
0(г) = -с^(г(£, г, 2), г(£, г, 2))
Отсюда видно, как из квадратуры (2.6) можно найти коэффициенты нормальной формы Рк и генератора Ск: нормальная форма Рк равна коэффициенту при Ь, а Ск - не зависящее от времени слагаемое. В данном методе не обязательно применять переменные Биркгофа и нормализовать квадратичную часть.
Рассмотрим подробнее случай, когда частоты и3 -действительные числа, а квадратичная часть нормализована.
Комплексная нормальная форма в переменных Биркгофа получается так. Функции Мк в (2.3) - однородные полиномы