Особенности семейств периодических решений некоторых задач небесной механики

• Автор: Варин, Виктор Петрович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 317 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I
ОСОБЕННОСТИ СЕМЕЙСТВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ БЕЛЕЦКОГО
§ Г. Предельные задачи уравнения Белецкого
1.1. Предельные задачи
1.2. Основное предельное уравнение
1.3. Первая предельная задача. Теория
1.4. Первая предельная задача. Методы вычислений
1.5. Первая предельная задача. Результаты вычислений
1.6. Вторая предельная задача. Теория
1.7. Вторая предельная задача. Вычисления
1.8. Сращивание решений первой и второй предельных задач
1.9. Сравнение предельных семейств с допредельными
1.10. Об интегрируемости предельных уравнений
§ 2. Обобщенные периодические решения уравнения Белецкого
2.1. Классификация обобщенных 2:тг-периодических решений
2.2. Характеристики семейств решений при е >
2.3. Характеристики семейств решений при е <
§ 3. Критические семейства периодических решений
3.1. Критические подсемейства семейств К
3.2. Критические подсемейства семейства Ко
§ 4. Анализ вырождений на семействах периодических решений
4.1. Характеристическое многообразие
4.2. Уравнения в вариациях
4.3. Геометрические особенности
4.4. Пересечение многообразий симметричных и несимметричных
периодических решений
4.5. Порождающие решения
4.6. Изолированные порождающие решения
4.6.1. Случай р
4.6.2. Невырожденный случай е
4.6.3. Вырожденный случай е = 0 с удвоением периода

ГЛАВА II ПРОБЛЕМА ЦЕНТРА-ФОКУСА
И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ
§ 1. Обобщенная полярная замена координат
§ 2. Уравнения в вариациях
§ 3. Системы, близкие к гамильтоновым
§ 4. Случай ломаной Ньютона, состоящей из двух ребер
ГЛАВА III
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ
§ 1. Основные определения
§ 2. О вычислении семейств
§ 3. Порождающие семейства
§ 4. Семейство h периодических решений ограниченной задачи
4.1. Порождающее семейство h (ц = 0). Описание семейства
4.1.1. Порождающее семейство h (ц — 0). Период и следы
4.1.2. Пересечения порождающего семейства h
с другими семействами
4.2. Случай Солнце-Юпитер (ц — 0.00095388).
Описание семейства
4.2.1. Случай Солнце-Юпитер (ц — 0.00095388).
Период и следы
4.2.2. Случай Солнце-Юпитер (ц = 0.00095388).
Пересечения с другими семействами
4.3. Случай Земля-Луна (ц = 0.012155)
4.4. Семейство h при /г
4.5. Семейство h при ц
4.6. Семейство h при д
4.7. Семейство h при /х
4.8. Семейство h при д
4.9. Эволюция семейства h при росте д
§ 5. Семейства сиг
5.1. Порождающее семейство с (д = 0)
5.2. Порождающее семейство г (д = 0). Начальный участок
5.3. Порождающее семейство г (/х = 0). Описание всего семейства
5.4. Экстремумы константы Якоби
5.5. Характеристики порождающего семейства г
5.6. Вычисление характеристик семейств S

5.7. Период, след и их возмущения
5.8. Обоснование бифуркаций семейств S
§ 6. Семейства сиг периодических решений ограниченной задачи
при ц = 5 1(Г5
6.1. Семейство с при ц — 5
6.2. Семейство г при /г = 5 10~5
§ 7. Замкнутые семейства периодических решений ограниченной задачи
7.1. Бифуркации семейств СПР
7.2. Образование и эволюция замкнутых семейств
7.3. Другие замкнутые семейства
7.4. О распределении астероидов
ГЛАВА IV
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ БЕЗ НАСЫЩЕНИЯ
§ 1. Численное решение линейных краевых задач
§ 2. Аппроксимация функций полиномами Чебышева
§ 3. Учет краевых условий
§ 4. Аппроксимация элементарных дифференциальных операторов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

где С - независимая постоянная. Поскольку правая часть уравнения (23) ограничена, уравнение (22) не имеет предельных циклов. По той же причине Ж1 не может стремиться К ОО при £ —► ОО. В противном случае Х —j- О, и траектория подойдет близко к устойчивому узлу (или фокусу, если [I < —1.125). Цикл сепаратрисы тоже невозможен, поскольку константа интегрирования в (23) тогда будет С = —2д, поэтому Jq° x2dt = 0 и ад = 0. Рассмотрим траекторию, начинающуюся в седле ад = 0, ад = 0. Она закончится в узлах Xi = ±7Г, ад = 0 (или фокусах). Она не может подойти к другим неподвижным точкам из-за симметрий. Доказательство закончено.
При ц < 0 через неподвижную точку xi — ктт, Х2 = 0 с четными к проходят сепаратрисы УДд) (рис. 3). Они делят фазовую плоскость (ад, а) системы (15) на криволинейные полосы, которые обозначим с нечет-
ными к так что полоса £/£ ограничена сепаратрисами и V/P+i- При этом множества U® и V® заполнены решениями, выходящими из неподвижных точек xi — kn, ад = 0 с нечетными к и четными к соответственно.
1.3. Первая предельная задача. Теория. На полуинтервале и € [0, п)
уравнение (6) регулярно, но при v — тт имеет особенность. Чтобы исследовать его решения вблизи этой особенности, положим
v — тт + д, £ = — ln|#|, ад = 5i, X2 — d5/dt. (24)
Производные по в будем обозначать штрихом, а по £ - точкой. Тогда выполнено соотношение (14) и уравнение (6) эквивалентно системе
0 0, ад Х2,
±2 = [(2# sin# — 1 -t-cos#)a;2 — цв2 sin ад — 4#2sin#]/(l — cos в).
Легко видеть, что правая* часть третьего уравнения аналитична во всех конечных точках 0°,ад,ад. Если в0 ф 0, то 1 — cos#0 ф 0. Если в0 = 0, то (1 — cos#)-1 = 2#-2(1 + ...), но выражение в квадратных скобках делится
на в2. Система (25) имеет инвариантное многообразие в = 0, на котором
она индуцирует систему (15). Если цф 0, то неподвижные точки системы (25) определяются уравнениями
в — 0, хг — kn, Х2 — 0, к Е Z. (26)
При в —* 0, следовательно, ад стремится либо к ктт либо к ±оо.
Изучим решения системы (25) вблизи неподвижной точки (26). Положим
XI = ктт + уг, р,= (-1)кц. (27)