Системы функциональных уравнений счетнозначной логики

• Автор: Калинина, Инна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с.

Оглавление
Введение
Общая характеристика исследования
Краткая история развития поставленной задачи
Основные цели и результаты
Глава 1. Оператор ГЕ-замыкания в счетнозначной логике
1.1 Основные понятия и терминология
1.2 Операторы ЕЕ-замыкания и НО-замыкания
1.3 Принцип сопряженности для оператора
ГЕ-замыкания
1.4 ГЕ-замыкание множеств типа {0, х + 1}
1.5 ГЕ-замыкание множеств, содержащих
характеристические функции
1.6 Язык ГЕ-замыкания с логическими связками
Глава 2. Оценки числа ЕЕ-замкнутых
и ГЕ-предполных классов
2.1 ГЕ-замкнутые классы
2.2 ГЕ-предполные классы
Глава 3. Сложность проблемы выполнимости систем функциональных уравнений

3.1 Неразрешимость проблемы выполнимости
3.2 Проблема выполнимости и класс Щ
3.3 Все решения системы функциональных уравнений
Заключение
Список литературы

Введение
Общая характеристика исследования
Уравнение — одно из самых распространенных понятий в математике, уступающее по частоте использования, возможно, лишь понятию функции.
По отношению к основным (предметным) переменным все уравнения можно условно разделить на две группы: к первой группе относятся уравнения, в которых разыскиваются значения неизвестных предметных переменных (линейные, алгебраические, матричные и другие уравнения), во вторую группу входят функциональные уравнения, в которых неизвестными являются функции от предметных переменных, и наряду с предметными переменными в них присутствуют известные функциональные константы.
Функциональное уравнение — это один из самых распространенных способов задания функций в математике, оно выражает связь между значением функции в одной или нескольких точках с ее значениями в других точках. Предметные переменные в функциональных уравнениях указывают на универсальный характер этих связей и всегда находятся под действием кванторов общности (т.е. уравнение должно оставаться верным при любых значениях входящих в него предментых переменных).
Функциональные уравнения представляют собой весьма общий класс уравнений, ими, по существу, являются дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения конечных разностных схем и ряд других,

Заметим, что ограничение на множество {0,1} любой функции, удовлетворяющей системе уравнений
рі(0) = 1, ^і(1)=0,
представляет собой булево отрицание. Поэтому, имея одну из функций х<> Х<, мы можем получить и другую функцию.
Рассмотрим систему уравнений
ір2(х,х,у) = X, ір2(х, у, х) = X, <р2(у,х,х) = X.
Каждая функция, удовлетворяющая данной системе уравнений, обладает «медианным» свойством: на любом наборе, содержащем не более двух различных значений, она принимает значение, которое встречается в наборе по крайней мере два раза. Теперь с использованием функциональной переменной ср2 и функциональных констант %<> Х< выпишем два уравнения, которые определяют функцию х + 1:
Х<{х,(р(х)) = 1, <р2(1 ,Х<{у,х)>Х<Ых)>У)) =
Первое уравнение і’арантирует, что <р(х) > х для любых значений х, а второе — что не существует такого у, что х < у < ір{х;). Таким образом, мы имеем обе функции 0 и х + 1. Далее применяем теорему 3.
Теорема доказана.
Следствие 5. ЕЕ-замыкапие каждого из множеств функций {%<}, {х<} совпадает с классом £).
Доказательство.
Имеем Х<{х,х) = 0- Уравнение ірі(х) = ірі(у) определяет множество всех функций-констант. Добавляя к этому уравнению еще два уравнения
<р2(х, х, у) = х, (Р2(0,ч>1(х),у) = у,