Исследование качественными методами динамики дискретных систем с неоднозначными нелинейностями

• Автор: Степанов, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 111 с.

1 Собственные колебания цифровой системы
1.1 Грубые решения цифровой системы управления
1.2 Стационарная система
1.3 Микроструктура пространства состояний грубой стационарной цифровой системы
2 Вынужденные колебания цифровой системы
2.1 Асимптотические свойства вынужденных колебаний цифровой системы с устойчивым объектом
2.2 Система с нестационарным объектом
2.3 Билинейная система
2.4 Случай нейтрально-устойчивого объекта
3 Дискретное управление непрерывными системами
3.1 Задача релейной стабилизации
3.2 Релейная стабилизация непрерывных систем
3.3 Дискретная стабилизация непрерывных систем
Заключение
Литература
Теория импульсных систем достигла к настоящему времени высокого уровня развития. Импульсные системы широко применяются в современной технике благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости.
Повышение требований к быстродействию и точности импульсных систем. увеличение их эффективности неизбежно приводит к необходимости учета нелинейности реальных элементов, которые входят в состав системы, либо введения в нее дополнительных нелинейных элементов. Наличие нелинейных элементов в импульсной технике придает ей качественно новые свойства, исследование которых на основе теории линейных систем непосредственно невозможно. В связи с этим возникает необходимость в разработке и развитии теории нелинейных импульсных систем. К настоящему моменту доступно большое количество специальной литературы, посвященной исследованию нелинейных импульсных систем (см., например, библиографию |1, 5|).
Наиболее хорошо изучены импульсные системы, описываемые разностными уравнениями (дискретные системы). Од,пой из первых монографий но динамике дискретных систем является книга Бромберга |2|, и которой исследование устойчивости и авто колебательности импульсных систем проводилось при помощи методов, матричного исчисления.
Динамика нелинейных дискретных систем рассматривалась в монографиях П. Видаля |4|, Я.З. Цыпкина и К).С. Попкова |5|, а также В.М. Купцевича и Ю.Н. Чсхового |б|.
В работах |7, 12, 14, 15, 16, 17| изучалась устойчивость импульсных
систем, состояние которых изменяется ЛИНИ) в дискретные моменты времени и остается постоянным между ними. Таковыми являются цифровые системы.
В диссертации рассматриваются цифровые (дискретные) системы, содержащие существенные неоднозначные нелинейности. Существенные нелинейности такого типа возникают, например, при математическом моделировании различных нелинейных физических эффектов (гистерезис в электро- и радиотехнике, трение и люфт в механике, и т.д.). Кроме того, используемые модели позволяют учитывать влияние внешних возмущающих воздействий, действующих на рассматриваемые системы.
Вопросы существования устойчивых колебательных режимов (собственных или вынужденных) в нелинейных системах, а также проблемы точного построения этих режимов, т.о. нахождения их параметре]! и конфигурации в фазовом пространстве, являются одними из наиболее актуальных і! теории нелинейных колебаний. В диссертационной работе данные вопросы рассматриваются применительно к дискретным системам, содержащим нелинейности указанного типа. Получены новые результаты, касающиеся асимптотических свойств собственных и вынужденных колебаний дискретных систем управления.
Другой, несомненно, актуальной проблемой является проблема стабилизации программных режимов автоматических систем управления. В работе изучен вопрос о дискретной стабилизации непрерывных систем управления (стационарных или подвергающихся непрерывному ограниченному внешнему воздействию), содержащих неоднозначные существен шло нелинейности, которые описываются кусочно-линейными нечетными функциями своего аргумента.

Пусть 5 > 0 степень грубости рассматриваемого решения. Положим
Кц — 1 + Е < 1о&
(1 — а)5
I “ 8 1|Т|| Ь (|/х11 п + 2 |д2| г2 V + д у)
(обозначения ф г), а, X из предыдущего доказательства). Полагая,
что множество и содержит N различных значений, снова рассмотрим
N — ЛГЛ' различных упорядоченных наборов Рш длины Кц элементов
из множества и и построим N ^-периодических последовательностей
й'1' но правилу (2.1.4). Рассмотрим N последовательностей
и."’" = Х^7/-^Д:-.?+1 {т (к -.}. хкч, й'£ч) +

+№г2 {к - у, хкч, «£,) й%ч + <д_;/ й'£ч), 1<т< N.
Опираясь на результаты |18|, можем утверждать, что, если величины |/х 11, | д2| достаточно малы, то последовательности 4’т почти периодические, для любого т. Зафиксируем е = -А 4 + 1^ и иыбо1'>ем 5-почти период т = 1К$, I £ К, общий для последовательностей б‘1, .ьр1,... ,§1’Л . Сохраняя введенмое ранее обозначение для Рк, мож(’.м утверждать, что
Зтпо, 1 < т0 < И, 3*1,*2, 1<ч<г2<^ + 1: Рк.+ц-т — Рк+и-т = Рш°-
Тогда
аШГг - <7кМтт < |4+*,-т - 4+г2-г| + 14+1,-г ~ 4+*2-г| < <

„2 _ -2,7/40
ьк+и-т к+п-т
+ Ц-Т %+'/ч;-т[
< 2(г2 - п)е +
-2,7/40 _ д2,7
кМут к+'п-т

2 _ -2,7/4(1
Щ+Щт ьк+1гт

2 -2,7/1(|
5А:+*гг ®Л+г’|-+

I /-л• т - %Мгг
Далее,
2 -2.7/7
в&+»|-Г _ АА:+*|-т